פתרו את התרגיל הבא:
נתון השיוויון הבא:
\((a+b-5)^2+(b+2c+3)^2+(c+3a-10)^2=0\)
מצאו את ערכו של \(a^2+b+c^3=?\)
קחו לכם כמה דקות לראות איך אתם יכולים לפתור או לחפש כיוון, אם לא הצלחתם, חשבו על הרמז הבא:
המשוואה היא בעצם סכום של סוגריימים השווים או גדולים מאפס, לא הצלחתם?
בואו נראה איך פותרים את השאלה
פתרון:
כפי שציינו ברמז, מאחר מדובר בסכום של ביטויים העולים בריבוע, התצואה של כל סוגריים המועלים בריבוע חייב להיות אפס או גדול מאפס. מכיוון שסכום כל ביטויי הסוגריים ביחד הם אפס וכל אחד מהם חיובי או אפס, הדרך היחידה לקיון השיוויון היא שהיא שכל אחד מהביטויים שבסוגריים שווה לאפס בעצמו. מכאן שיש לנו מערכת של שלוש משוואות ושלושה נעלמים! בואו נכתוב אותם ונפתור הלאה:
\(a+b-5=0\)
\(b+2c+3=0\)
\(c+3a-10=0\)
נחסר את שני השיוויונים הראשונים
\(a+b-5=0\)
\(b+2c+3=0\)
ונקבל
\(a-2c-8=0\)
נבודד את a ונקבל
\(a=2c+8\)
כעת נוכל להציב את a במשוואה השלישית ונקבל את ערכו של c
\(c+3a-10=0\)
\(c+3(2c+8)-10=c+6c+24-10=7c+14=0\)
מכאן קל למצוא את ערכו של c
\(c=-2\)
כעת נמצא את שאר המשתנים
\(a-2c-8=0\)
\(a-2/cdot(-2)-8=a+4-8=0 => a=4\)
וכעת נמצא את ערכו של b
\(a+b-5=0\)
\(4+b-5=0 => b=1\)
כל שנותר לנו הוא למצוא את
\(a^2+b+c^3=?\)
נציב ונקבל
\((4)^2+1+(-2)^3=16+1-8=9\)
הפתרון הוא
\(a^2+b+c^3=9\)