בעמוד זה אנחנו מרכזים את הנוסחאות של הנגזרות כולל הסבר קצר מתומצת במידת הצורך וכולל דוגמאות.
למידה מרוכזת יותר בנושאי נגזרות, תמצאו באתר בעמודים הבאים (חלק מהעמודים בהקמה):
- נגזרת של מספר או קבוע
- נגזרת של ישר ax+b
- נגזרת של פרבולה ax2+bx+c הבסיס
- נגזרת של פולינום ax2+bx+c מתקדם
- נגזרת של מכפלת פונקציות f(x)xg(x)
- נגזרת של מנה (חלוקה) של פונקציות f(x)/g(x)
- נגזרת מורכבת (פונקציה בתוך פוקציה)
- נגזרת של שורש
- נגזרת של פרמטר
בעמוד נראה את חוקי הנגזרות:
- נגזרת של חזקה
- נגזרת של סכום פונקציות
- נגזרת של מכפלה
- נגזרת של חלוקה
- נגזרת של שורש
- תרגילים לגזירת פולינום
כללים לגזירת פולינום
נגזרת של חזקה
כאשר אנחנו ניגשים לגזור חזקות, נעמוד בכלל הבא:
אם נתונה הפונקציה:
f(x)=ax^n
הנגזרת שלה תהיה
f'(x)=n \cdot ax^{n-1}
נגזרת של סכום של פונקציות
אם נתונים הפונקציות
f(x) + g(x)
אז הנגזרת של סכום הפונקציות יהיה
(f(x)+g(x))’ = f'(x)+g'(x)
לשם ההבהרה נוכל לומר ש f(x)=3x^2 , g(x)=3x
אז סכום שתי הפונקציות הוא
6x+3
נגזרת של מכפלה
אם נתונה המכפלה הבאה:
y = f(x)\cdot g(x)
אז הנגזרת של הפונקציה נתונה ע״י
y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
נגזרת של חילוק
אם נתונה הפונקציה הבאה:
y = \frac{f(x)}{g(x)}
אז נגזרת שלה תוגדר ע״י
y’ = \frac{ f'(x)\cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{\left [ g(x) \right ]^2}
נגזרת של שורש
נגזרת של שורש מוגדרת כך:
f(x)=\sqrt x \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}
ואם בתוך הנגזרת יש פונקציה אז
f(x) = \sqrt {g(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot g'(x)
תרגול גזירת פולינום:
גזרו את הפונקציה הבאה:
f(x) = 3x^5
פתרון והסבר
נשתמש בחוק הראשון שלמדנו
f'(x)=n \cdot ax^{n-1}
ולכן נגזרת הפונקציה, תהיה:
f'(x)=5 \cdot 3x^{4} = 15x^4
גזרו את הפונקציה הבאה:
y(x) = -7x^2 + 2xפתרון והסבר
נשתמש בשני החוקים שלמדנו על גזירת חזקה והחוק המתאר את גזירת סכום פונקציות
f'(x)=n \cdot ax^{n-1} ו (f(x)+g(x))’ = f'(x)+g'(x)
פתרון והסבר:
עם הניסיון תוכלו לגזור את הפונקציה בשלב אחד, אבל בואו ונעשה זאת בכמה שלבים:
ראשית נוכל לתאר את הפונקציה y כסכום של שתי פונקציות
f(x)=-7x^2 ו g(x)=2x
נגזור כל אחת מהן בנפרד ואז נחבר אותם לפי(f(x)+g(x))’ = f'(x)+g'(x)f'(x)=-2 \cdot 7x
ו
g'(x)=2ולכן:
y'(x) = f'(x)+g'(x) = -7x+2
גזרו את הפונקציה הבאה:
y(x) = 3x(2x-x^2)
פתרון והסבר
נשתמש בחוק לגזירת מכפלה של פונקציות
y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)במקרה שלנו
f(x) = 3x \rightarrow f'(x)=3
ו
g(x) = 2x-x^2 \rightarrow g'(x) = 2-2xכעת נציב את שנגזרות והפונקציות בנוסחה
y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
ונקבל
y'(x) = 3 \cdot (2x-x^2 ) + (2-2x) \cdot 3x
נפתח סוגריים ונקבל
y'(x) = 6x -3x^2 +6x -6x^2
ונסיים
y'(x) = 12x-9x^2
לא חובה, אבל אפשר לבדוק את עצמנו
אם נגזור את תוצאת המכפלה הראשונה
y(x) = 3x(2x-x^2) = 6x^2 – 3x^3
כעת פשוט נגזור את הסכום הזה
y'(x) = (6x^2 – 3x^3)’ = 2 \cdot 6x – 3\cdot 3x^2
נסיים את הבדיקה
y'(x) = 12x-9x^2
גזרו את פונקציה הזורש הבאה:
f(x) = \sqrt {7x+1}
פתרון והסבר
היות ובשורש יש פונקציה שהנגזרת שלה שונה מ1, אנחנו משתמשים בנוסחה הבאה:
f(x) = \sqrt {g(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot g'(x)
כאשר g(x) = 7x +1 נגזור אותה כדי שנוכל להשתמש בנוסחה בקלות יותר g'(x)=7
כעת בואו נציב את הכל בנוסחה
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{7x+1}}\cdot 7
נצמצם עוד קצת ונקבל את הנגזרת
f'(x) = \frac{7}{2\sqrt{7x+1}}
גזרו את פונקציה השורש הבאה:
f(x) = \sqrt {2x^2-5x+3}
פתרון והסבר
היות ובשורש יש פונקציה שהנגזרת שלה שונה מ1, אנחנו משתמשים בנוסחה הבאה:
f(x) = \sqrt {g(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot g'(x)
כאשר g(x) = 2x^2-5x+3 נגזור אותה כדי שנוכל להשתמש בנוסחה בקלות יותר g'(x)=4x-5
כעת בואו נציב את הכל בנוסחה
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2-5x+3}}\cdot (4x-5)נכתוב שוב ונציג בצורה פשוטה יותר
f'(x) = \frac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+3}}
תרגיל 6
גזרו את הפונקציה הבאה:
(2x+1)(\sqrt{2x+1})
פתרון והסבר
זאת הדוגמא המסובכת ביותר עד עכשיו
בעצם יש לנו מכפלה של שתי פונקציות
f(x) = (2x+1) ו g(x)=\sqrt{2x+1}
לגזירת הפונקציה נשתמש בנוסחה לגזירת מכפלות
אם נתונה המכפלה הבאה:y = f(x)\cdot g(x)
אז הנגזרת של הפונקציה נתונה ע״י
y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
בואו נפריד את המכפלה לשתי פונקציות, נגזור כל אחת בנפרד ונחבר הכל ביחד
f(x) = (2x+1) \Rightarrow f'(x) = 2
g(x) = \sqrt{2x+1}
הנגזרת קצת יותר מורכבת פה
g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot (2x+1)’ \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2
ונקבל נגזרת
g'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}
עכשיו רק נותר לבצע את המכפלות
y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
אז
2 \sqrt{2x+1} + (2x+1)\frac{1}{\sqrt{2x+1}}
נכתוב יפה יותר, כך
2 \sqrt{2x+1} + \frac{2x+1}{\sqrt{2x+1}}
שימו לב שיש טריק לכתיבה נוחה יותר של הנגזרת הסופית
נכפיל ונחלק את החלק השמאלי של הנגזרת ב \sqrt{2x+1}
ונקבל
2 \sqrt{2x+1}\cdot\frac{ \sqrt{2x+1}}{ \sqrt{2x+1}} + \frac{2x+1}{\sqrt{2x+1}}
מה יש לנו כאן?
\frac{2 \sqrt{2x+1}\cdot \sqrt{2x+1}}{ \sqrt{2x+1}} + \frac{2x+1}{\sqrt{2x+1}}
נחבר את את שני השברים בעלי המכנה המשותף
\frac{2\cdot(2x+1) +(2x+1)}{ \sqrt{2x+1}} \Rightarrow \frac{6x+3}{ \sqrt{2x+1}}
זהו סיימנו עם התרגיל הזה!!!
נדיה
7 מאי 2022תיבדוק, בבקשה, תשובה בתרגיל 2.
adminnn3
8 מאי 2022היי נדיה,
תודה על ההערה, תיקנו את השגיאה.
תודה ובהצלחה!