Processing math: 100%

באיזה ידע תשלטו אחרי שתחפרו את העמוד הזה:

  1. מהו משפט הסינוסים – הגדרה
  2. הוכחת משפט הסינוסים – זוויות בלבד
  3. הוכחת משפט הסינוסים – רדיוס מעגל חוסם R
  4. תכונות הסינוס הבסיסיות
  5. כמה פתרונות יש למשוואה טריגונומטרית
  6. תרגול רמה 1
  7. תרגול רמה 2
  8. מחשבון משפט הסינוסים

משפט הסינוסים קובע כי היחס שבין אורך הצלע לסינוס הזווית שמולה שווה לקוטר המעגל (פעמיים רדיוס):

משפט הסינוסים הגדרה

2R=\frac{BC}{\sin\alpha }=\frac{AC}{\sin\beta }=\frac{AB}{\sin\gamma }

הוכחת משפט הסינוסים:

הוכחת משפט הסינוסים יחסית קלה, הנה שתי הוכחות למשפט הסינוסים:

\frac{BC}{\sin\alpha }=\frac{AC}{\sin\beta }=\frac{AB}{\sin\gamma }

נתבונן במשולש הבא

משפט הסינוסים - הוכחה ראשונה

במשולש ABC הורדנו גובה לצלע AB ומכאן יש לנו שני משולשים ישרי זווית ACD ו BCD

כידוע, ההגדרה של פונקציית הסינוס היא היחס שבין הגובה שמול הזווית לבין היתר במשולש ולכן נקבל את היחסים הבאים

במשולש ACD

\sin\alpha = \frac{a}{h} \Rightarrow h=\frac{a}{\sin\alpha}

במשולש BCD

\sin\beta = \frac{b}{h} \Rightarrow h=\frac{b}{\sin\beta}

מאחר והגובה h שווה בשני המשולשים, נשמר היחס הבא

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}

ומכן ההוכחה למשפט הסינוסים

\frac{BC}{\sin\alpha }=\frac{AC}{\sin\beta }=\frac{AB}{\sin\gamma }
  1. ההוכחה הזאת מתבססת על:
  2. הוכחת משפט הסינוסים מלמעלה

נתון המעגל הבא

הוכחת משפט הסינוסים - הוכחה שניה

מאחר וזווית BCD הינה שווית ישרה, נקבל את יחס הסינוס:

סינוס שווה ליחס שבין הניצב מול הזוית ליתר

\sin \delta = \frac{DC}{DB}

מאחר והקוטר הוא פעמיים הרדיוס, נקבל

DB=2R

ומכאן היחס הבא

\sin \delta = \frac{DC}{2R}

נבודד את 2R ונקבל את היחס הבא:

2R=\frac{DC}{\sin \delta}

מכיוון ששתי זוויות הנשענות על אותה הקשת (מאותו הצד), יש לנו את הזיוויון הבא בזוויות

\delta = \alpha

וכמו כן את השוויון בערך הסינוס

\sin \delta = \sin\alpha

נכתוב את השיוויון הבא

2R=\frac{DC}{\sin \alpha}

קיבלנו את משפט הסינוסים המלא

2R=\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}

כמה תכונות של פונקציית הסינוס שיעזרו לפתור תרגילים מורכבים המצריכים מעבר להצבה מיידית בנוסחאות

  1. פונקציית הסינוס היא פונקציה אי-זוגית ולכן מקיימת \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)
  2. פונקציית הסינוס מקיימת \sin(180^\circ – \alpha)= \sin(\alpha)

 

בסוג זה של שאלות, התשובה תהיה תוצאה של שימוש ישיר בנוסחת הסינוסים או המרה אחת בלבד

 

משפט הסינוסים – שאלת תרגול 1

שאלה

במשולש הבא נתונים

עורכי הצלעות a ו b וכמו כן גודל הזווית α אשר בקודקוד A.

  1. חשבו את גודל הזווית הנותרות
  2. חשבו את היקף המשולש
משפט הסינוסים - שאלת תרגול ראשונה

פתרון:

ראשית נמצא את גודל זווית 𝛾∠  ע״י הצבה מהירה בנוסחת משפט הסינוסים

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}

נקבל

\sin\gamma = \frac{c\cdot\sin\alpha}{a} \Rightarrow \angle \gamma = 62.12^\circ

נחשב את גודל זווית 𝛽 לפי סכום הזוויות במשולש

\beta = 180^\circ – 50^\circ – 62.12^\circ = 67.88^\circ

כעת נחשב את אורך צלע b ע״י שימוש נוסף במשפט הסינוסים

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} b =\frac{13 \cdot \sin67.88^\circ}{\sin50^\circ} \Rightarrow b=18.03

היקף המשולש הוא כמובן סכום עורכי הצלעות שמצאנו

l=a+b+c=13+18.03+15=46.03

משפט הסינוסים – שאלת תרגול 2

שאלה

במשולש הבא נתונים

עורכי הצלעות a ו c וכמו כן גודל הזווית α אשר בקודקוד A.

  1. חשבו את גודל הזווית הנותרות
  2. חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש
משפט הסינוסים - שאלת תרגול שניה

פתרון:

ראשית נמצא את גודל זווית BCA∠  ע״י הצבה מהירה בנוסחת משפט הסינוסים

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin(∠BCA)}

נקבל

\sin(∠BCA) = \frac{c\cdot\sin\alpha}{a} \Rightarrow \angle \gamma = 35.68^\circ

נחשב את גודל זווית ∠ABC לפי סכום הזוויות במשולש

\beta = 180^\circ – 30^\circ – 35.68^\circ = 114.32^\circ

ע״י שימוש נוסף במשפט הסינוסים המורחב נחשב את רדיוס המעגל החוסם R

2R=\frac{a}{\sin\alpha} \Rightarrow R= \frac{12}{2\cdot \sin30^\circ}\Rightarrow R= \frac{12}{2\cdot0.5}=12

משפט הסינוסים – שאלת תרגול 3

שאלה

במשולש הבא נתונים

עורך הצלעו AC=10 וכמו כן גודל הזווית בקודקוד C.

  1. חשבו את גודל הזווית הנותרות
  2. חשבו את היקף המשולש
  3. חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש
משפט הסינוסים - שאלת תרגול שלישית

פתרון:

סעיף 1:

ראשית נמצא את גודל זווית CAB∠ ו CBA∠ ע״י שימוש בסכום הזוויות במשולש

180=105+\alpha+2\cdot\alpha \Rightarrow \alpha=\frac{108-105}{3}
נקבל
\alpha=\frac{75}{3}=25^\circ

סעיף 2:

נמצא את עורך הצלע AB ע״י שימוש ישיר בנוסחת משפט הסינוס

\frac{AC}{\sin (\alpha)} = \frac{AB}{\sin(105^ֿ\circ)}

נקבל
AB = \frac{AB \cdot \sin (2\cdot \alpha)}{\sin(105^ֿ\circ)}
ומכאן
AB = \frac{10 \cdot \sin(105^ֿ\circ)}{\sin (25^ֿ\circ)}=22.837
באותה הדרך נחשב את אורך הצלע BC

\frac{BC}{\sin 2\cdot\alpha} = \frac{AB}{\sin(105^\circ)}

נקבל
BC = \frac{AB \cdot 2 \cdot \sin }{\sin(105^ֿ\circ)}
ומכאן
BC = \frac{22.837 \cdot \sin (50^ֿ\circ)}{\sin(105^ֿ\circ)}=18.109

סעיף 3:
למציאת הרדיוס החוסם את המשולש נשתמש שימוש מהיר בנוסחת הסינוסים
2R=\frac{AC}{\sin\alpha}
מכאן נקבל כי רדיוס המעגל החוסם הוא
R=\frac{AC}{2\cdot\sin\alpha} = \frac{10}{2\cdot0.422}=11.82

את כל שלבי השאלה ניתן לחשב בעזרת מחשבון משפט הסינוסים למטה

משפט הסינוסים – שאלת תרגול 4

נתון המשולש הבא:
אורך צלע אחת 12 והצלע השניה 10. גודל הזוית שמול הצלע הקצרה היא 35 מעלות.

  1. חשבו את הגדלים האפשריים לזווית שמול הצלע שאורכה 12 סנטימטרים
  2. בחרו בזווית הגדולה יותר וחשבו את אורך הנותרת.

פתרון:

יש לזכור את תכונת הסינוס

\sin(\alpha)=\sin(180^\circ – \alpha)

ניגש לפתרון השאלה:
\frac{12}{\sin\alpha}=\frac{10}{\sin(35^\circ)} \Rightarrow \sin\alpha = \frac{12\cdot\sin(35^\circ)}{12}
ונקבל
\sin\alpha = 0.69

מתוך הידע כי
\sin(\alpha)=\sin(180^\circ – \alpha)

נקבל פתרון ראשון
(\alpha)=\sin^{-1} (0.69) = 43.495^\circ
(\alpha)=180^\circ – 43.495^\circ = 136.505^\circ

כעת נחשב את אורך הצלע החסרה
\gamma = 180^\circ-35^\circ-43.495^\circ=101.505

שימוש בנוסחת הסינוסים יביא ל
A = \frac{10 \cdot \sin(101.505^\circ)}{\sin(35^\circ)}
A = \frac{10 \cdot 0.982}{0.574} = 17.108

הכננו עבורכם מחשבון למשפט הסינוסים, כולל כמה אפשרויות לחישוב ופתרונות מלאים הכוללים הסקות נוספות שניתן להסיק תוך שימוש במשפט הסינוסים (רדיוס מעגל חוסם, היקף ועוד). לנוחיותכם עמוד המחשבון זמין גם כאן – מחשבון משפט הסינוסים (נפתח בעמוד חדש להקלה על השימוש)

כתיבת תגובה

The maximum upload file size: 2 MB. You can upload: image. Links to YouTube, Facebook, Twitter and other services inserted in the comment text will be automatically embedded. Drop file here

סגירת תפריט
סגירת תפריט