מרחק בין שתי נקודות – נוסחת דיסטנס בקלי קלות!

אחד הנושאים הראשונים הנלמדים בגאומטריה אנליטית הוא מציאת המרחק בין שתי נקודות, מה שידוע גם כדיסטנס (Distance).

בשיעור הבא נלמד:

1. מהי נוסחת המרחק בין שתי נקודות
2. נוסחת המרחק – הסבר , הוכחה ודרך
3. המרחק בין שתי נקודות – שאלות הצבה (רמה 1)
4. המרחק בין שתי נקודות – שאלות עם נעלם אחד (רמה 2)
5. מציאת המרחק בין נקודה לישר (בעזרת נוסחת הדיסטנס)
6. המרחק בין שתי נקודות – שאלות עם שני נעלמים (רמה 3)
7. מחשבון למציאת המרחק בין שתי נקודות

נוסחת המרחק בין שתי נקודות

לפני שניכנס לעומק השיעור, נראה ראשית מהי נוסחאת המרחק בין שתי נקודות:

\(d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}\)
d מתאר את המרחק שבין שתי הנקודות \(P_{1}(x_{1},y_{1}) \) ו \( P_{2}(x_{2},y_{2})\)

נוסחת המרחק בין שתי נקודות – הסבר

סרטון הסבר ןפתרון וידאי של שאלות ההצבה 1-3

נרשום על הצירים שתי נקודות, כמו בתרשים הבא:

כעת כשנרצה לחשב את המרחק שבין הנקודות A ו B נשרטט משולש ישר זוווית שהיתר שלו הוא הקטע AB, אותו נוכל לחשב בעזרת משפט פיתגורס:

לפי משפט פיתגורס : \(AB^2=AC^2+BC^2\)

ולכן אורך הקטע AB הוא:

כעת נותר לההבין את אורכי הקטעים AC ו BC ולהציבם בנוסחה הנ״ל

אורך הקטע AC הוא הפרש קורדינאטות הנקודות על ציר הx
אורך הקטע BC הוא הפרש קורדינאטות הנקודות על ציר הy
\(AC=(x_{2}-x_{1})\)
\(BC=(y_{2}-y_{1})\)
כעת נציב בנוסחת פיתגורס ויש לנו את הנוסחה למציאת המרחק בין שתי נקודות
\(d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}\)

דוגמאות לחישוב המרחק בין שתי נקודות – שאלות הצבה:

שאלה 3:
נעמה יצאה למסלול ריצה , במהלך הריצה עברה נעמה בנקודות המצויינות גרף.
איזה מרחק רצה נעמה

פתרון:
ראשית נמצא את הקורדינאטות של נקודות הציון

• נקודת היציאה הבית נמצאת בנקודה (1,1)
• נקודת האמצע מגרש הספורט נמצאת בנקודה (4,5)
• נקודת הסיום נמצאת בקורדינאטות (8,3)

נחשב תחילה את המרחק אותו עברה נעמה מהבית עד למגרש הספורט

\(d_{1}=\sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}\)

נציב
\(d_{1}=\sqrt{(3)^2+(4^2}\)

נפשט
\(d_{1}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\)
ולבסוף

\(d_{1}=5\)

 

כעת נחשב את קטע הריצה השני שבין מגרש הספורט לנקודת הסיום, כלומר מ(4,5) ל (8,3)

\(d_{2}=\sqrt{(8-3)^2+(3-5)^2}\)

נפשט
\(d_{2}=\sqrt{(5)^2+(2^2}\)

נסכום
\(d_{2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\)

ולבסוף
\(d_{2}=\sqrt{29}\)

המרחק הכולל אותו עברה נעמה הוא:

\(d=5+\sqrt{29}\)

דוגמאות לחישוב המרחק בין שתי נקודות – שאלות עם נעלם אחד:

סרטון הסבר ופתרון תרגילים 4 ו 5 בצורה מפורטת:

שאלה 4:
מצא נקודה על ישר x=7 הנמצא במרחק 9 יחידות מהנקודה (1-,2-)
פתרון:
נסמן נקודה על הישר x=7 כך \(p(7,y)\)
אנחנו יודעים שהמרחק בין הנקודה p לישר הוא 9 ולכן
\(d=9 \rightarrow d^2=9^2=81\)
כעת אפשר להציב את הנתונים בנוסחת המרחק
\(d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}\)
נעלה אותה בריבוע לשם
\(d=(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2\)
נגדיר את שתי הנקודות שלנו
\(p_{1}(-2,-1) ו p_{2}(7,y_{2})\)
נציב את הנקודות בנוסחה
\(81=(7–2)^2+(y–1)^2=9^2+(y+1)^2\)
נחסיר 81 משני האגפים ונקסל
\(0=(y+1)^2\)
נוציא שורש לשני האגפים ונקבל
\(y+1=0 \rightarrow y=-1\)
לכן הנקודה p תהיה ב
\(p(7,-1)\)אפשר לבדוק את התוצאה ע״י מציאת המרחק בין הנקודות
\(p_{1}(-2,-1) ו p_{2}(7,-1)\)
נעשה בדיקה מהירה
\(d=\sqrt{(7–2)^2+(-1–1)^2}=\sqrt{9^2+0^2}=9\)

שאלה 5:
מצאו נקודה הנמצאת על הישר y=8 ובמרחק של 5 יחידות מהנקודה (4,5)
פתרון
בדומה לשאלה הקודמת, נקודה שנימצאת על הישר y=8 תהיה תמיד מהסוג \(p(x,8)\)
אנחנו יודעים שהמרחק בין הנקודה p לישר הוא 5 ולכן
\(d=5 \rightarrow d^2=5^2=25\)
כעת אפשר להציב את הנתונים בנוסחת המרחק
\(d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}\)
נגדיר את שתי הנקודות שלנו
\(p_{1}(4,5) p_{2}(x,8)\)
נציב אותן בנוסחה
\(5=\sqrt{(x-4)^2+(8-5)^2}\)
נעלה בריבוע את שני האגפים
\(25=(x-4)^2+(8-5)^2\)
ונפשט מעט
\(25=x^2 -8x + 16 + 9\)
נצמצם ונגיע למשוואה ריבועית
\(25 = x^2 – 8x + 25\)
נחסיר משני האגפים 25 ונקבל את המשוואה הריבועית הבאה:
\(0 = x^2 – 8x \rightarrow x(x-8)=0\)
למשוואה שני פתרונות
\(x_{1}=0 x_{2}=8\)
ולכן לתרגיל שני פרונות שונים
\(p1_{1}(0,8) p_{2}(8,8)\)
טיפ – רוצים לבדוק את התוצאה שלכם ולוודא שאתם בסדר? השתמשו במחשבון המרחק בין שתי נקודות שלנו

תרגול מציאת מרחק נקודה מישר בעזרת נוסחאת הדיסטנס:

שימו לב, כאן נחשב את המרחק המינימלי בין נקודה לישר בעזרת שימוש בנוסחאת הדיסטנס, אפשר לחשב את המרחק בעזרת הנוסחה לחישוב מרחק בין נקודה לישר כאן

דוגמאות לחישוב המרחק בין שתי נקודות – שאלות עם שני נעלמים:

מחשבון למציאת המרחק בין שתי נקודות