מכנה משותף – איך מוצאים מכנה משותף בשברים?

עוד עמודים וכלים מעניינים בנושאי שברים:

1. בונה דף עבודה לתרגול חיבור/חיסור שברים עם מכנה זהה
2. בונה דף עבודה לתרגול שברים בעזרת דיאגרמת מקלות
3. מחשבון חיבור/חיסור/כפל/חילוק שברים כולל דרך!!!
4. איך מוצאים מכנה משותף? (אתה כאן)

למה אנחנו לומדים איך למצוא מכנה משותף בשברים?

מציאת מכנה משותף שברים עוזר לנו לחשב בקלות תרגילים חיבור וחיסור שברים, בהם המכנה שונה, למשל בתרגיל הבא:

מה המכנה המשותף לשברים
\(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=?\)

המכנה בין שני השברים שונה ולפתרון תרגיל החיבור נצטרך למצוא מכנה משותף. במקרה הזה, כדי למצוא את המכנה המשותף, נכפיל את המונה והמכנה של השברים במספר שלם, למשל:
\(\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5}\cdot\frac{3}{3}=?\)

ונקבל תרגיל חיבור חדש ופשוט יותר לפתרון:
\(\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3}=?\)
נמשיך לפתור
\(\frac{5}{15} + \frac{6}{15}=\frac{5+6}{15}\)
נקבל את התשובה
\(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{11}{15}\)

דרכים למציאת מכנה משותף:

באופן כללי יהיו 4 מצבים למציאת מכנה משותף:

1. המכנה של שני השברים זהה
2. המכנה של אחד השברים הוא מכפלה של המכנה השני
3. המכנה המשותף הוא מכפלה של כל אחד מהמכנים במספר
4. המכנה המשותף הוא מכפלה של שני המכנים

בואו נעבור על ארבעת המצבים:

1.המכנה של שני השברים זהה

דוגמא 1

במקרה הזה נתונים לנו שני שברים בעלי מכנה זהה, למשל:
\(\frac{2}{7} , \frac{4}{7}\)
המקרה הזה הוא המקרה הפשוט ביותר, מכיוון שהמכנה של שני השברים הוא 7, זהו למעשה גם המכנה המשותף לשני השברים
אם נרצה לחבר בין השברים לא נצטרך לעבוד קשה מידי, למשל
\(\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=\frac{2+4}{7} = \frac{6}{7}\)

דוגמא 2

דוגמא נוספת לחיבור שני שברים בעלי מכנה משות, במקרה הזה שברים מדומים
\(\frac{11}{5} , \frac{7}{5}\)
לשני השברים המדומים האלה מכנה משותף זהה 5, אם נרצה לחסר בניהם, נפתור כך:
\(\frac{11}{5}-\frac{7}{5}=\frac{11-7}{5} = \frac{4}{5}\)

2. המכנה של אחד השברים הוא מכפלה של המכנה השני

במקרה הזה, המכנה הגדולה מתחלק ללא שארית במכנה הקטן, לכן ניתן להכפיל את המכנה הקטן במספר כלשהו ולגהגיע למכנה הגדול בצורה פשוטה ומהירה

דוגמא 1
ניקח לדוגמא את שני השברים הבאים:
\(\frac{1}{3} , \frac{4}{9}\)
אנחנו יכולים לראות מיד כי אם נכפיל את המכנה הקטן 3 במספר 3 נגיע לערכו של המכנה הגדול 9
בואו נרחיב את השבר שליש לשבר בעל מכנה 9
\(\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{3}=\frac{3}{9}\)
כעת לשני השברים יש מכנה משותף 9
\(\frac{3}{9} , \frac{4}{9}\)

אם נרצה לחבר בין השברים, נקבל את התרגיל הבא:
\(\frac{1}{3}+\frac{4}{9}=?\)
נגיע למכנה משותף
\(\frac{1}{3}+\frac{4}{9}=\frac{3}{9}+\frac{4}{9}=?\)
\(\frac{3}{9}+\frac{4}{9}=\frac{3+4}{9}=\frac{7}{9}\)

דוגמא 2
מצאו המכנה המשותף לשברים המדומים
\(\frac{3}{2} , \frac{5}{4}\)
אנחנו יכולים לראות שאם נכפיל את המכנה הנמוך 2 פי 2 נקבל 4 שהוא המכנה הגבוה ולכן
נכפיל את המונה והמכנה פי 2 ונקבל
\(\frac{3\cdot 2}{2\cdot 2}ֿ=\frac{6}{4}\)
כעת נוכל למשל לחבר את שני השברים ללא בעיה
\(\frac{3}{2} + \frac{5}{4}=?\)
נגיע למכנה משותף כמו שעשינו למעלה ונקבל
\(\frac{6}{4} + \frac{5}{4}=\frac{6+5}{4}=\frac{11}{4}\)

3.המכנה המשותף הוא מכפלה של כל אחד מהמכנים במספר כלשהו

במקרה הזה יש להכפיל מכנה אחד במספר אחד ואת המכנה השני במספר אחר, התוצאה של שתי המכפלות תהיה שווה ולבן תהיה המכנה המשותף

דוגמא 1:

אנחנו נראה שניתן להגיע למכנה משותף ע״י הכפלה של 9 ב2 ושל 6 ב3
נגיע כך למכנה משותף שערכו 18
\(\frac{5\cdot 3}{6\cdot 3} , \frac{4\cdot 2}{9\cdot 2}\)
ונקבל שני שברים בעלי מכנה משותף 18
\(\frac{15}{18} , \frac{12}{18}\)
אם נרצה לחסר בין שני השברים
\(\frac{5}{6} – \frac{4}{9}=?\)
נגיע למכנה המשותף
\(\frac{15}{18} – \frac{12}{18}=\frac{15-12}{18}\)
והתוצאה הסופית
\(\frac{15}{18} – \frac{12}{18}=\frac{3}{18}\)

4.המכנה המשותף הוא מכפלה של שני המכנים

כאשר המכנים של שני השברים שונים, הדרך ״הקלה״ ביותר למצוא את מכנה המשותף להם הוא פשוט להכפיל מכנה אחת בשני, כך נקבל תמיד את אותו המספר ולכן הוא תמיד יהיה מכנה משותף,
דוגמא 1
בואו נמצא את המכנה המשותף לשני השברים הבאים
\(\frac{1}{7} , \frac{1}{9}\)
המכנה המשותף יהיה
\(7\cdot 9 = 63\)
בואו ונרחיב את שני השברים לשברים עם מכנה משותף 63
\(\frac{1 \cdot 9}{7\cdot 9} , \frac{1\cdot 7}{9 \cdot 7}\)
ומכאן
\(\frac{9}{63} , \frac{7}{63}\)
אם נרצה לחבר את שני השברים נקבל את התרגיל הבא
\(\frac{1}{7} + \frac{1}{9}=?\)
לאחר מכנה משותף נקבל את התרגיל הבא
\(\frac{9}{63} + \frac{7}{63}=\frac{7+9}{63}=\frac{16}{63}\)

דוגמא 2
בואו נמצא את המכנה המשותף של שני השברים הבאים
\(\frac{1}{5} , \frac{1}{7}\)
מכיוון שלא ניתן להגיע למכנה משותף לשני השברים הנ״ל באף אחת מהדרכים הקודמות
נגיע למכנה משותף בעזרת הכפל בין שני המכנים
\(7\cdot 5= 35\)
נרחיב את שני השברים לקבלת מכנה משותף מתאים
\(\frac{1\cdot 7}{5\cdot 7} , \frac{1\cdot 5}{7\cdot 5}\)
ומכאן
\(\frac{7}{35} , \frac{5}{35}\)

אם נידרש לתרגיל חיסור בין שני השברים, למשל
\(\frac{1}{5} – \frac{1}{7}=?\)
כמו למעלה, נרחיב למכנה משותף ע״י הכפלת שני המכנים אחד בשני ונגיע ל:
\(\frac{7}{35}-\frac{5}{35}=?\)
ונפתור
\(\frac{7-5}{35}=\frac{2}{35}\)