חיבור שברים אלגבריים

תרגיל 1:

 $\frac{3}{x} + \frac{4}{y}$

שלבים והסבר:

1. מציאת מכנה משותף: המכנה המשותף הפשוט ביותר לשני השברים הוא המכפלה של המכנים $x$ ו-$y$, כלומר $xy$.
2. התאמת המונים:
– לשבר הראשון $\frac{3}{x}$, נכפיל את המונה והמכנה ב-$y$ כדי שהמכנה יהיה $xy$. כלומר, $\frac{3}{x} \cdot \frac{y}{y} = \frac{3y}{xy}$.
– לשבר השני $\frac{4}{y}$, נכפיל את המונה והמכנה ב-$x$ כדי שהמכנה יהיה $xy$. כלומר, $\frac{4}{y} \cdot \frac{x}{x} = \frac{4x}{xy}$.
3. חיבור השברים:
– עכשיו כשלשני השברים יש את אותו המכנה, אפשר לחבר את המונים: $\frac{3y + 4x}{xy}$.
4. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חיבור השברים היא $\frac{3y + 4x}{xy}$.
 

תרגיל 2:

 $\frac{2}{x+2} + \frac{3}{x-2}$

שלבים והסבר:

1. מציאת מכנה משותף: המכנים הם $x+2$ ו-$x-2$. המכנה המשותף הוא $(x+2)(x-2)$, שהוא המכפלה של שני הביטויים.
2. התאמת המונים:
– לשבר הראשון $\frac{2}{x+2}$, נכפיל את המונה והמכנה ב-$x-2$ כדי להשיג את המכנה המשותף: $\frac{2}{x+2} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}$.
– לשבר השני $\frac{3}{x-2}$, נכפיל את המונה והמכנה ב-$x+2$ כדי להשיג את המכנה המשותף: $\frac{3}{x-2} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{3(x+2)}{(x+2)(x-2)}$.
3. חיבור השברים:
– כעת נחבר את השברים על ידי חיבור המונים: $\frac{2(x-2) + 3(x+2)}{(x+2)(x-2)}$.
4. פתיחת הסוגריים ופישוט:
– פתח את הסוגריים במונה: $2(x-2) + 3(x+2) = 2x – 4 + 3x + 6 = 5x + 2$.
– השבר המפושט הוא: $\frac{5x + 2}{(x+2)(x-2)}$.
5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חיבור השברים היא $\frac{5x + 2}{x^2 – 4}$.
 

תרגיל 3:

 $\frac{5x}{x^2 – 4} + \frac{2x+3}{x^2 + 2x + 1}$

שלבים והסבר:

1. מציאת מכנה משותף:

המכנה המשותף יהיה המכפלה של הביטויים המקוריים לאחר פירוק לגורמים, אם אפשרי.
– המכנה הראשון $x^2 – 4$ ניתן לפירוק: $(x-2)(x+2)$.
– המכנה השני $x^2 + 2x + 1$ ניתן לפירוק: $(x+1)^2$.
– המכנה המשותף הוא: $(x-2)(x+2)(x+1)^2$.
2. התאמת המונים:
– לשבר הראשון, נכפיל את המונה ב-$(x+1)$: $\frac{5x(x+1)}{(x-2)(x+2)(x+1)^2}$.
– לשבר השני, נכפיל את המונה ב-$(x-2)(x+2)$: $\frac{(2x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+1)^2}$.
3. חיבור השברים:
– נחבר את המונים: $\frac{5x(x+1)^2 + (2x+3)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)(x+1)^2}$.
4. פתיחת הסוגריים ופישוט:
– פתח את הסוגריים ופשט: $5x^2 + 5x + 2x^2 + x – 6 = 7x^2 + 6x – 6$.
– השבר המפושט הוא: $\frac{7x^2 + 6x – 6}{(x-2)(x+2)(x+1)}$.
5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חיבור השברים היא $\frac{7x^2 + 6x – 6}{x^3 + x^2 – 2x}$.

תרגיל 4:

 $\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x + 6} + \frac{2x – 1}{x^2 + 4x + 3}$

שלבים והסבר:

1. מציאת מכנה משותף: פירוק המכנים לגורמים:
– המכנה הראשון $x^2 + 5x + 6$ ניתן לפירוק: $(x+2)(x+3)$.
– המכנה השני $x^2 + 4x + 3$ ניתן לפירוק: $(x+1)(x+3)$.
– המכנה המשותף הוא: $(x+1)(x+2)(x+3)$.
2. התאמת המונים:
– לשבר הראשון, נכפיל את המונה ב-\
((x+1)\): $\frac{(x^2 + 3x + 2)(x+1)}{(x+1)(x+2)(x+3)}$.
– לשבר השני, נכפיל את המונה ב-$(x+2)$: $\frac{(2x – 1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}$.
3. חיבור השברים:
– נחבר את המונים: $\frac{(x^2 + 3x + 2)(x+1) + (2x – 1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}$.
4. פתיחת הסוגריים ופישוט:
– פתח את הסוגריים ופשט: $x^3 + 4x^2 + 5x + 2 + 2x^2 + 3x – 2 = x^3 + 6x^2 + 8x$.
– השבר המפושט הוא: $\frac{x^3 + 6x^2 + 8x}{(x+1)(x+2)(x+3)}$.
5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חיבור השברים היא $\frac{x^3 + 6x^2 + 8x}{x^3 + 6x^2 + 11x + 6}$.

 

תרגיל 5:

 $\frac{x}{x^2 – 1} + \frac{2}{x^2 + x – 2}$

שלבים והסבר:

1. מציאת מכנה משותף: נפרק את המכנים לגורמים:
– המכנה הראשון $x^2 – 1$ ניתן לפירוק: $(x-1)(x+1)$.
– המכנה השני $x^2 + x – 2$ ניתן לפירוק: $(x-1)(x+2)$.
– המכנה המשותף הוא: $(x-1)(x+1)(x+2)$.
2. התאמת המונים:
– לשבר הראשון, נכפיל את המונה ב-$(x+2)$: $\frac{x(x+2)}{(x-1)(x+1)(x+2)}$.
– לשבר השני, נכפיל את המונה ב-$(x+1)$: $\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}$.
3. חיבור השברים:
– נחבר את המונים: $\frac{x(x+2) + 2(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}$.
4. פתיחת הסוגריים ופישוט:
– נפתח את הסוגריים ונפשט: $x^2 + 2x + 2x + 2 = x^2 + 4x + 2$.
– השבר המפושט הוא: $\frac{x^2 + 4x + 2}{(x-1)(x+1)(x+2)}$.
5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חיבור השברים היא $\frac{x^2 + 4x + 2}{x^3 + 2x^2 – x – 2}$.