חיבור שברים אלגבריים

תרגיל 1:

 \(\frac{3}{x} + \frac{4}{y}\)

שלבים והסבר:

1. מציאת מכנה משותף: המכנה המשותף הפשוט ביותר לשני השברים הוא המכפלה של המכנים \(x\) ו-\(y\), כלומר \(xy\).
2. התאמת המונים:
– לשבר הראשון \(\frac{3}{x}\), נכפיל את המונה והמכנה ב-\(y\) כדי שהמכנה יהיה \(xy\). כלומר, \(\frac{3}{x} \cdot \frac{y}{y} = \frac{3y}{xy}\).
– לשבר השני \(\frac{4}{y}\), נכפיל את המונה והמכנה ב-\(x\) כדי שהמכנה יהיה \(xy\). כלומר, \(\frac{4}{y} \cdot \frac{x}{x} = \frac{4x}{xy}\).
3. חיבור השברים:
– עכשיו כשלשני השברים יש את אותו המכנה, אפשר לחבר את המונים: \(\frac{3y + 4x}{xy}\).
4. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חיבור השברים היא \(\frac{3y + 4x}{xy}\).
 

תרגיל 2:

 \(\frac{2}{x+2} + \frac{3}{x-2}\)

שלבים והסבר:

1. מציאת מכנה משותף: המכנים הם \(x+2\) ו-\(x-2\). המכנה המשותף הוא \((x+2)(x-2)\), שהוא המכפלה של שני הביטויים.
2. התאמת המונים:
– לשבר הראשון \(\frac{2}{x+2}\), נכפיל את המונה והמכנה ב-\(x-2\) כדי להשיג את המכנה המשותף: \(\frac{2}{x+2} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}\).
– לשבר השני \(\frac{3}{x-2}\), נכפיל את המונה והמכנה ב-\(x+2\) כדי להשיג את המכנה המשותף: \(\frac{3}{x-2} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{3(x+2)}{(x+2)(x-2)}\).
3. חיבור השברים:
– כעת נחבר את השברים על ידי חיבור המונים: \(\frac{2(x-2) + 3(x+2)}{(x+2)(x-2)}\).
4. פתיחת הסוגריים ופישוט:
– פתח את הסוגריים במונה: \(2(x-2) + 3(x+2) = 2x – 4 + 3x + 6 = 5x + 2\).
– השבר המפושט הוא: \(\frac{5x + 2}{(x+2)(x-2)}\).
5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חיבור השברים היא \(\frac{5x + 2}{x^2 – 4}\).
 

תרגיל 3:

 \(\frac{5x}{x^2 – 4} + \frac{2x+3}{x^2 + 2x + 1}\)

שלבים והסבר:

1. מציאת מכנה משותף:

המכנה המשותף יהיה המכפלה של הביטויים המקוריים לאחר פירוק לגורמים, אם אפשרי.
– המכנה הראשון \(x^2 – 4\) ניתן לפירוק: \((x-2)(x+2)\).
– המכנה השני \(x^2 + 2x + 1\) ניתן לפירוק: \((x+1)^2\).
– המכנה המשותף הוא: \((x-2)(x+2)(x+1)^2\).
2. התאמת המונים:
– לשבר הראשון, נכפיל את המונה ב-\((x+1)\): \(\frac{5x(x+1)}{(x-2)(x+2)(x+1)^2}\).
– לשבר השני, נכפיל את המונה ב-\((x-2)(x+2)\): \(\frac{(2x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+1)^2}\).
3. חיבור השברים:
– נחבר את המונים: \(\frac{5x(x+1)^2 + (2x+3)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)(x+1)^2}\).
4. פתיחת הסוגריים ופישוט:
– פתח את הסוגריים ופשט: \(5x^2 + 5x + 2x^2 + x – 6 = 7x^2 + 6x – 6\).
– השבר המפושט הוא: \(\frac{7x^2 + 6x – 6}{(x-2)(x+2)(x+1)}\).
5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חיבור השברים היא \(\frac{7x^2 + 6x – 6}{x^3 + x^2 – 2x}\).

תרגיל 4:

 \(\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x + 6} + \frac{2x – 1}{x^2 + 4x + 3}\)

שלבים והסבר:

1. מציאת מכנה משותף: פירוק המכנים לגורמים:
– המכנה הראשון \(x^2 + 5x + 6\) ניתן לפירוק: \((x+2)(x+3)\).
– המכנה השני \(x^2 + 4x + 3\) ניתן לפירוק: \((x+1)(x+3)\).
– המכנה המשותף הוא: \((x+1)(x+2)(x+3)\).
2. התאמת המונים:
– לשבר הראשון, נכפיל את המונה ב-\
((x+1)\): \(\frac{(x^2 + 3x + 2)(x+1)}{(x+1)(x+2)(x+3)}\).
– לשבר השני, נכפיל את המונה ב-\((x+2)\): \(\frac{(2x – 1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}\).
3. חיבור השברים:
– נחבר את המונים: \(\frac{(x^2 + 3x + 2)(x+1) + (2x – 1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}\).
4. פתיחת הסוגריים ופישוט:
– פתח את הסוגריים ופשט: \(x^3 + 4x^2 + 5x + 2 + 2x^2 + 3x – 2 = x^3 + 6x^2 + 8x\).
– השבר המפושט הוא: \(\frac{x^3 + 6x^2 + 8x}{(x+1)(x+2)(x+3)}\).
5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חיבור השברים היא \(\frac{x^3 + 6x^2 + 8x}{x^3 + 6x^2 + 11x + 6}\).

 

תרגיל 5:

 \(\frac{x}{x^2 – 1} + \frac{2}{x^2 + x – 2}\)

שלבים והסבר:

1. מציאת מכנה משותף: נפרק את המכנים לגורמים:
– המכנה הראשון \(x^2 – 1\) ניתן לפירוק: \((x-1)(x+1)\).
– המכנה השני \(x^2 + x – 2\) ניתן לפירוק: \((x-1)(x+2)\).
– המכנה המשותף הוא: \((x-1)(x+1)(x+2)\).
2. התאמת המונים:
– לשבר הראשון, נכפיל את המונה ב-\((x+2)\): \(\frac{x(x+2)}{(x-1)(x+1)(x+2)}\).
– לשבר השני, נכפיל את המונה ב-\((x+1)\): \(\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}\).
3. חיבור השברים:
– נחבר את המונים: \(\frac{x(x+2) + 2(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}\).
4. פתיחת הסוגריים ופישוט:
– נפתח את הסוגריים ונפשט: \(x^2 + 2x + 2x + 2 = x^2 + 4x + 2\).
– השבר המפושט הוא: \(\frac{x^2 + 4x + 2}{(x-1)(x+1)(x+2)}\).
5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חיבור השברים היא \(\frac{x^2 + 4x + 2}{x^3 + 2x^2 – x – 2}\).