הרכיבו משוואה ריבועית

:מציאת קודקוד הפרבולה

y = x^{2} + 5 x + 6

:בנקודת הקודקוד לפי הנוסחה הבאה x ראשית נמצא את ערך

x_{k} = \frac{- b}{2 a}

בפרבולה שלנו הערכים הם

b = 5 a = 1

נציב בנוסחה

x_{k} = \frac{- (5)}{2 (1)} = - 2.5

y כעת נציב בפרבולה ונמצא את ערך

y_{k} = (1) (- 2.5)^{2} + (5) (- 2.5) + (6)

נפתור ונקבל

y_{k} = - 0.25

ולכן נקודת הקיצור היא

P_{k} (- 2.5, - 0.25)

מצאו את ציר הסימטריה של הפרבולה

y-אנחנו יודעים שהפרבולה היא סימטרית סביב ישר המקביל לציר ה
ועובר צרך נקודת הקיצון
את נקודת הקיצון מצאנו בסעיף הקודם וגילינו שהיא

P_{k} (- 2.5, - 0.25)

לכן ציר הסימטריה יוגדר ע״י

X = - 2.5

קבעו האם הנקודה היא נקודת מקסימום או נקודת מינימום

יש לנו שתי צורות של פרבולה
1. פרבולה שבה המקדם של האיבר הריבועי a הוא שלילי
מכונה פרבולה בוכה ובה נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום

2. פרבולה שבה המקדם של האיבר הריבועי a הוא חיובי
מכונה פרבולה צוחקת ובה נקודת הקיצון היא נקודת מינימום

המקדם של הפרבולה a=1 ולכן יש לנו פרבולה צוחקת ונקודת הקיצון היא נקודת מינימום

מצאו את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר הy

כדי למצוא את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר הy נציב x=0 במשוואת הפרבולה:

y = x^{2} + 5 x + 6

x = 0 => y = (1) \cdot (0)^{2} + (5) \cdot (0) + (6)

ומכאן

y = 0 + 0 + (6)

נקודת החיתוף עם ציר ה y היא:

P (0, 6)

ללא חישוב אפשר גם לראות שנקודת החיתוך עם ציר y שווה לערך המקדם c

מצאו את נקודות החיתוך של המשוואה עם ציר הx במידה ויש כאלו

a = 1 b = 5 c = 6

:מרכיבים את המשוואה הבאה

x^{2} + 5 x + 6 = 0

:נציב את המקדמים לנוסחת השורשים

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

:ונקבל

x_{1, 2} = \frac{- (5) \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1) \cdot (6)}}{2 \cdot (1)}

:נתחיל לפתור

x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - (24)}}{2}

:נמשיך

x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}

:נמשיך לפשט

x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 1}{2}

המשוואה חותכת את ציר הx בנקודות הבאות

x_{1} = \frac{- 5 + 1}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2

x_{1} = \frac{- 5 - 1}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3

המשוואה חותכת את ציר הx בנקודות הבאות

x_{1} = - 2 x_{2} = - 3

התשובה הסופית היא

P_{1} = (- 2, 0) P_{2} = (- 3, 0)

פירוק הטרינום למשוואה

כל אחד מהפתרונות שמצאנו מאפסים את המשוואה ולכן כל אחת מהמכפלות מאפסת את המשוואה הריבועית cmurv vctv

(x + 2) \cdot (x + 3) = 0

מצא את תחומי העליה והירידה של הפרבולה

תחומי העליה והירידה של הפונקציה ינועו סביב קודקוד הפרבולה
בערך הx של קודקוד הפרבול, גרף הפרבולה עובר מעלייה לירידה או מירידה לעלייה
פרבולה צוחקת (המקדם a הוא חיובי)תעבור ב x קודקוד מירידה לעלייה
פרבולה בוכה (המקדם a הוא שלישי)תעבור ב x קודקוד מעלייה לירידה

במקרה שלנו a=1>0 הפרבולה צוחקת ולכן
הפרבולה יורדת עבור x<-2.5
הפרבולה עולה עבור x>-2.5