פרבולה - קרנפים - דפי עבודה בחשבון 🦏

העמוד בבניה

הי בעמוד הבא נכסה את נושא הפרבולה, החל ממושגי מבוא ועד לפתרון שאלות פרבולה המופיעות בבחינת הבגרות 3 יחידות. בכל סעיף נסביר בעזרת תרגילים ופתרונות וידאו
בתפריט הבא תוכלו לדלג למקום המתאים לכם:

היכרות עם הפרבולה
זיהוי הפרמטרים של הפרבולה
פרבולה בוכה – פרבולה עם ערך מקסימום
פרבולה צוחקת – פרבולה עם ערך מינימום
מציאת נקודת הקיצון של הפרבולה
ציר הסימטריה של הפרבולה
מציאת נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x
משמעות גרפית של פרבולה עם 0,1,2 נקודות חיתוך עם ציר ה-x
מציאת נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-y
מציאת נקודות החיתוך של פרבולה עם ישר y=a
מציאת נקודות החיתוך של פרבולה עם ישר y=ax+b
מציאת נקודות החיתוך בין שתי פרבולות
איך גוזרים פונקציה של פרבולה
שאלות חקירת פרבולה מתוך שאלון 35381/802

היכרות עם הפרבולה

משוואת או פונקציית הפרבולה נראית כך:
$f(x)=ax^2+bx+c$
כאשר a,b,c, הם מקדמי הפאבולה
המקדמים c ו b יכולים להיות כל מספר (חיובי שלילי או אפס)
ואילו המקדם a צריך להיות שונה מ אפס כדי שתהיה לנו פרבולה
אם a=0 נקבל בעצם משוואה של ישר ולא משוואה של פרבולה
$f(x)=0x^2+bx+c = bx+c$
אם מביט לרגע במשוואת הישר
$y=mx+b$
נוכל לראות את הדמיון בין משוואת הישר ומשוואת הפרבולה ונראה שהתוספת למשוואת הפרבולה היא למעשה האיבר החדש של ריבוע x
$y={\color{Orange} ax^2}+bx+c$

כמה דוגמאות למשוואה של פרבולה

$a=1,b=2,c=3 => f(x)=x^2+2x+3$

$a=2,b=1,c=4 => f(x)=2x^2+x+4$

$a=-2,b=3,c=-1 => f(x)=-2x^2+3x-1$

$a=-1,b=2,c=0 => f(x)=-x^2+2x$

$a=-1,b=0,c=2 => f(x)=-x^2+2$

$a=2,b=0,c=0 => f(x)=2x^2$
המשותף לכולן הוא קיום של איבר x בריבוע

מושגים נוספים:

קודקוד הפרבולה – הנקודה שבה הפרבולה משנה כיוון- מעלייה לירידה או מירידה לעלייה
נקודות חיתוך עם ציר הx – נקודות שבהן ערך הy של הפרבולה הוא אפס. ישנם שלושה מצבים נפוצים, 2 נקודות חיתוך עם ציר הx, נקודת חיתוך אחת עם ציר הx או אפס נקודות חיתוך עם ציר הx
נקודת חיתוך עם ציר הy – לפרבולה תהיה תמיד נקודת חיתוך אחת עם ציר הy. את ערך הy הזה נקבל כאשר x=0

נקודות מעניינות בגרף הפרבולה

זיהוי הפרמטרים של הפרבולה

לימדנו למעלה שלפרבולה ישנם שלושה מקדמים a,b,c, אלו הם מקדמי הפרבולה

המקדם a הוא המספר המופיע לפני איבר ה-x הריבועי

המקדם b הוא המספר המופיע לפני איבר ה-x

המקדם c הוא המספר החופשי

כמו כן אמרנו שהמקדם a אינו יכול להיות אפס מכיוון שאז אין לנו פרבולה אלא פונקציה של קו ישר (פונקציה ממעלה ראשונה) ואילו המקדמים b ו c יכולים להיות שווים לאפס

תרגיל זיהוי מקדמי הפרבולה 1:
מה הם מקדמי הפרבולה

$f(x)=2x^2+4x+6$ מקדמי הפרבולה הם:

$a=2, b=4, c=6$

תרגיל זיהוי מקדמי הפרבולה 2:
מה הם מקדמי הפרבולה

$f(x)=-x^2+2x-1$ מקדמי הפרבולה הם:

$a=-1, b=2, c=1$

תרגיל זיהוי מקדמי הפרבולה 3:
מה הם מקדמי הפרבולה

$f(x)=-3x^2+2$ מקדמי הפרבולה הם:

$a=-3, b=0, c=2$

תרגיל זיהוי מקדמי הפרבולה 4:
מה הם מקדמי הפרבולה

$f(x)=(x+3)(x-2)$ במקרה הזה נצטרך לפתוח סוגריים בעזרת חוק הפילוג:

$f(x)=x(x-2)+3(x-2)$
נמשיך

$f(x)=x^2-2x+3x-6$
נסכום את המקדמים ונקבל את משוואת הפרבולה

$f(x)=x^2+x-6$
מקדמי הפרבולה הם:

$a=1, b=1, c=-6$

פרבולה בוכה – פרבולה שיש לה נקודת מקסימום

את הפרבולה הבוכה נוכל לאתר כאשר המקדם a בעל ערך שלילי למשל בפונקציה הבאה a=-1 ולכן שלילי

$f(x)=-x^2+1$
צורת הפרבולה תהיה קמורה או בוכה
לפרבולה בוכה יש נקודת מקסימום, אנחנו רואים שהיא עוברת מעליה לירידה בנקודת הקודקוד ולכן זוהי נקודת מקסימום, הביטו בסרטוט הבא:

פרבולה בוכה

פרבולה צוחקת – פרבולה שיש לה נקודת מינימום

את הפרבולה הצוחקת נוכל לאתר כאשר המקדם a בעל ערך חיובי למשל בפונקציה הבאה a=1 ולכן חיובי

$f(x)=x^2+1$
צורת הפרבולה תהיה קעורה או צוחקת
לפרבולה צוחקת יש נקודת מינימום, אנחנו רואים שהיא עוברת מירידה לעליה בנקודת הקודקוד ולכן זוהי נקודת מינימום, הביטו בסרטוט הבא:

פרבולה צוחקת

מציאת נקודת הקיצון של הפרבולה

אז בסעיף הקודם הבחנו בין שתי צורות של פרבולה

פרבולה צוחקת – יש לה נקודת מינימום
פרבולה בוכה – יש לה נקודת מקסימום

כעת נראה איך נוכל למצוא את הקורדינאטות של הנקודה הזאת.

ישנן שתי דרכים למצוא את הקודקוד של הפרבולה:

ע״י נוסחה למציאת ערך ה-x והצבתו בפונקציה לקבלת ערך ה-y
גזירה של פונקצית הפרבולה, השוואה לאפס כדי למצוא את ערך ה-x בנקודת הקיצון ולאחר מכן הצבה של ערך ה-x בפרבולה וקבל ערך ה-y בנקודת הקיצון

בשלב הזה נראה את השימוש בנוסחה למציאת ערך ה-x של נקודת הקיצון בפרבולה.

הנוסחה למציאת x קודקוד

$x_{קודקוד}=-\frac{b}{2a}$
כאשר b ו a הם מקדמי הפרבולה אותם נציב בנוסחה

בואו נראה כמה דוגמאות

שאלה 1:
מצאו את ערך ה-x בנקודת הקודקוד של הפרבולה הבאה

$f(x)=x^2+4x-5$
ראשית נמצא את ערכי המקדמים bו a
a=1 , b=4 ונציב אותם בנוסחה למציאת x קודקוד

$x_{קודקוד}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot1}=-2$
לכן

$x_{קודקוד}=-2$

שאלה 2:
מצאו את ערך נקודת הקיצון של הפונקציה הבאה וקבעו את גוסה (מינימום או מקסימום

$f(x)=-3x^2+6x-4$
כמו בשאלה הראשונה, נאתר תחילה את המקדמים של הפרבולה
a=-3 ו b=6
נציב אותם בנוסחה למציאת x קודקוד

$x_{קודקוד}=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-3)}=1$
לכן

$x_{קודקוד}=1$
כעת נציב את הנקודה x=1 בפונקציית הפרבולה ונקבלת את ערך ה y בנקודת הקיצון

$f(x=1)=-3\cdot1^2+6\cdot1-4$
נכתוב

$y_{קודקוד}=-3+6-4=-1$
נקבל

$y_{קודקוד}=-1$
ולכן נקודת הקודקוד היא
(1,-1)
משמצאנו את שיעורי נקודת הקיצון נקבע את אופיה צוחקת או בוכה
המקדם a של הפרבולה הוא a=-3 ולכן הפרבולה צוחקת
לפרבולה צוחקת יש נקודת מינימום

ציר הסימטריה של הפרבולה

ציר הסימטריה של הפרבולה הוא ציר שאם נקפל לאורכו את הפרבולה נקבל את אותם ערכי ה-y עבור נקודות הנמצאות במרחק שווה מציר הסימטריה.

ציר הסימטריה של פרבולה הוא ישר מהסוג x=m.

כאשר נתונה משוואת הפרבולה, הערך של m הוא למעשה ערך הנקודה $X_{קודקוד}$
נושא אותו למדנו זה עתה למעלה, למשל

מצאו את ציר הסימטריה של הפרבולה

$f(x)=x^2+6x-3$
נציב את ערכי המקדמים a=1 ו b=6 בנוסחה למציאת ערך הx של קודקוד הפרבולה

$x_{קודקוד}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot1}=-3$
ולכן ציר הסימטריה של הפרבולה הוא
x=-3

היכרות עם הפרבולה

כמה דוגמאות למשוואה של פרבולה

מושגים נוספים:

זיהוי הפרמטרים של הפרבולה

פרבולה בוכה – פרבולה שיש לה נקודת מקסימום

פרבולה צוחקת – פרבולה שיש לה נקודת מינימום

מציאת נקודת הקיצון של הפרבולה

ציר הסימטריה של הפרבולה

איך גוזרים פונקציית פרבולה

שאלות חקירת פרבולה מתוך שאלוני 35381/802

חקירת פרבולה שאלה 1 שאלון 802/35381 חורף 2020 מועד א׳

שאלה 1 פרבולה שאלון 802/35381 קיץ 2020 מועד ב׳

שאלה 1 פרבולה שאלון 802/35381 קיץ 2020 מועד א׳

שאלת חקירת פרבולה שאלון 802/35381 חורף 2021 מועד א׳

שאלת פרבולה שאלון 802/35381 חורף 2020 מועד נבצרים

כתיבת תגובה לבטל