נקודת פיתול

בעמוד הזה למדנו וחקרנו נקודות קיצון,

למדנו שקביעת אופי נקודת הקיצון נתון ע״י מציאת ערך הנגזרת השניה בנקודת הקיצון

1. אם הנגזרת השניה בנקודת הקיצון שלילית אזי הנקודה היא נקודת מקסימום
2. אם הנגזרת השניה בנקודת הקיצון חיובית אזי הנקודה היא נקודת מינימום

אבל מה קורה כשערך הנגזרת השניה בנקודת הקיצון שווה ל0?

כאשר יש לנו נקודה שבה הנגזרת השניה שווה לאפס, אנחנו חושדים בה להיות נקודת פיתול

מהי נקודת פיתול?

נקודת פיתול היא נקודה שבה הפונקציה עוברת ממצב קעור למצב קמור, למשל הפוקציה הבאה:

שימו לב – בנקודת פיתול הנגזרת הראשונה יכולה להיות כל מספר, חיובית, שלילית או אפס

איך מוצאים נקודת פיתול?

למציאת נקודות פיתול תהליך קבוע

1. גוזרים פעמיים את הפונקציה
2. אם הנגזרת השניה של הפונקציה שווה ל0 יש לנו נקודה החשודה כנקודת פיתול
3. בודקים עם הנקודה החשודה היא נקודת פיתול

איך בודקים עם נקודה חשודה היא נקודת פיתול?

דרך ראשונה ע״י גזירה:

גוזרים פעם שלישית את הפונקציה, אם הנגזרת השלישית שונה מאפס אז הנקודה היא נקודת פיתול

אם הנגזרת השלישית שונה מאפס, ממשיכים לגזור עד שמקבלים אפס. במידה והנגזרת היא נגזרת אי זוגית אזי הנקודה היא נקודת פיתול

 

דרך שניה ע״י הצבה בטבלה:

בונים טבלה של ערכי הנגזרת השניה סביב הנקודה החשודה, אם הנגזרת השניה משנה כיוון מחיובית לשלילית או להיפך, יש לנו פה עסק עם נקודת פיתול

 

דוגמא למציאת נקודת פיתול

נחקור את הפונקציה ונחפש נקודות פיתול:

נתחיל בתהליך חיפוש נקודות פיתול ע״י גזירת הפונקציה פעמיים

\(f(x) = (x-1)^3\)
גזירה ראשונה
\(f'(x)= 3(x-1)^2\)
גזירה שניה
\(f”(x)=6(x-1) = 6x-6\)

נשווה את הנגזרת השניה לאפס ונגלה נקודות החשודות כנקידות פיתול
\(f”(x) = 6x-6 = 0\)
ומכאן נקבע כי הנקודה \(x=1\) כחשודה להיות נקודת פיתול

דרך ראשונה – בדיקה האם נקודת פיתול ע״י בדיקת הנגזרת השלישית
נגזור שוב את הפונקציה, בפעם השלישית
\(f^3 (x) = 6 \)
אנחנו רואים שהנגזרת שונה מאפס בלי קשר לערך x בנקודה החשודה ולכן יש לנו נקודת פיתול

 

דרך שניה – בדיקת ערכי הנגזרת השניה סביב נקודת הפיתול

נכין טבלה של ערכי הנגזרת השניה סביב הנקודה x=1 החשודה כנקודת פיתול

2	1	0	\(x\)
6	0	-6	\(f”(x)=6x-6\)

 

אנחנו רואים שסימן הנגזרת השניה סביב הנקודה החשודה כנקודת פיתול משתנה ולכן יש לנו פה נקודת פיתול (עוברים מקעורה מטה -6 לקעורה מעלה +6)