חוקי שורשים - קרנפים - דפי עבודה בחשבון 🦏

בשיעור הזה נלמד על חוקי השורשים, מהו השורש? איך מוצאים שורש? חוקים שונים בנושאי שורשים ועוד.

תוכן עיניינים בחוקי שורשים:

מהו השורש?
כללים בסיסיים בנושאי שורשים
תירגול החוקים הבסיסיים שימוש בחוקי חזקות וחוקי שורשים
שורשים שכדאי לדעת
שיולב של נוסחאות הכפל המקוצר והשורשים

מהו השורש?

בשלב הזה נתייסח לשורש ריבועי (חזקת חצי)

בהגדרתו הבסיסית ביותר, הוא למעשה חזקת חצי של המספר:

$\sqrt{X} = X^{\frac{1}{2}}$

דרך נוספת להסתכלות על השורש היא לשאול איזה מספר חיובי בחזקת 2 יתן לנו את המספר שבתוך השורש

$X=\sqrt{a} \Rightarrow a= X^2$
אפשר למור שיחסית ״קל״ לנו להעלות מספרים בחזקות שלמות, אבל כאשר אנחנו מנסים להעלות מספרים בחזקה שהיא שבר, העניין קצת מסתבך

חוקי יסוד בנושאי שורשים:

עכשיו כשאנחנו יודעים ששורש הוא בעצם חזקת חצי של מספר, אנחנו יכולים המשיך בכמה חוקי יסוד המגדירים שורשים

סימון השורש הוא: $\sqrt{}$
המספר a הוא שורש ריבועי של b אם מתקיים היחס : $a^2=b$ כלומר $a=\sqrt{b}$ דוגמאות לתרגול
אי אפשר להוציא שורש למספר שלילי – המספר שנמצא מתחת לשורש חיים להיות חיובי.
למספר חיובי יש שני שורשים תמיד למשל לשורש $\sqrt{4} =$ יש שני פתרונות $s_{1}=-\sqrt{2} , s_{2}=\sqrt{2}$ מכיוון ש $(-2)^2 = (2)^2 = 4$
ניתן לפרק שורשים למכפלות בתוך השורש $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ דוגמאות לתרגול
בדומה לנ״ל $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ מתקיים רק כש $a>0 , b>0, n \in N$ דוגמאות לתרגול
אם $a\geq 0$ אז $\sqrt{a^2} = a$ וגם $(\sqrt{a})^2=a$
$\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$
$\sqrt[m]{a^n} = (\sqrt[m]{a})^n$
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ מתקיים רק כש $a>0 , b>0, n \in N$
שורש של שורש – התוצאה היא מכפלה של מעריכי השורש $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$ – דוגמאות והסברים

תרגול שורשים

המספר a הוא שורש ריבועי של b אם מתקיים היחס : $a^2=b$ כלומר $a=\sqrt{b}$

שאלה 1:איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 16?

אם נכפיל את המספר 4 בעצמו נקבל 16 ולכן 4 הוא שורש של 16 או $\sqrt{16}=4$

שאלה 2 :איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 49?

אם נכפיל את המספר 7 בעצמו נקבל 49 ולכן 7 הוא שורש של 49 או $\sqrt{49}=7$

שאלה 3 :איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 100?

אם נכפיל את המספר 10 בעצמו נקבל 100 ולכן 10 הוא שורש של 100 או $\sqrt{100}=10$

שאלה 4 :איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 6.25?

אם נכפיל את המספר 2.5 בעצמו נקבל 6.25 ולכן 2.5 הוא שורש של 6.25 או $\sqrt{6.25}=2.5$

אי אפשר להוציא שורש למספר שלילי – המספר שנמצא מתחת לשורש חיים להיות חיובי.

אין כאן יותר מידי דוגמאות לתת
מספיק לראות שאין מספר טבעי שנעלה אותו בחזקה ונקבל מספר שלילי למשל:
$(-3) \cdot (-3) = 9$
או
$(3) \cdot (3) = 9$

למספר חיובי יש שני שורשים תמיד למשל לשורש $\sqrt{4} =$ יש שני פתרונות $s_{1}=-\sqrt{2} , s_{2}=\sqrt{2}$ מכיוון ש $(-2)^2 = (2)^2 = 4$

נחזור על הדוגמאות מהסעיף הקודם ונראה של

שאלה 1:איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 16?

אם נכפיל את המספר 4 בעצמו נקבל 16 ולכן 4 הוא שורש של 16 או $\sqrt{16}=4$

אם נכפיל גם את המספר 4- בעצמו נקבל 16 ולכן 4- הוא שורש של 16 או $\sqrt{16}=-4$

שאלה 2 :איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 49?

אם נכפיל את המספר 7 בעצמו נקבל 49 ולכן 7 הוא שורש של 49 או $\sqrt{49}=7$

אם נכפיל את המספר 7- בעצמו נקבל 49 ולכן 7- הוא גם גם שורש של 49 או $\sqrt{49}=-7$

שאלה 3 :איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 100?

אם נכפיל את המספר 10 בעצמו נקבל 100 ולכן 10 הוא שורש של 100 או $\sqrt{100}=10$

אם נכפיל את המספר 10- בעצמו נקבל 100 ולכן 10- הוא שורש של 100 או $\sqrt{100}=-10$

שאלה 4 :איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 6.25?

אם נכפיל את המספר 2.5 בעצמו נקבל 6.25 ולכן 2.5 הוא שורש של 6.25 או $\sqrt{6.25}=-2.5$

אם נכפיל את המספר 2.5- בעצמו נקבל 6.25 ולכן 2.5- הוא גם שורש של 6.25 או $\sqrt{6.25}=-2.5$

ניתן לפרק לשורשים מכפלות בתוך השורש $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

שאלה 1:
פתרו את התרגיל הבא:

$\sqrt{25 \cdot 9}$
פתרון:
אפשר לפצל את המכפלה שבתוך השורש למכפלה של שורשים לפי

$\sqrt{25 \cdot 9} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{9}$
מאחר ו

$\sqrt{25} = 5$
ו

$\sqrt{9} = 3$
נקבל כי

$\sqrt{25 \cdot 9} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15$

שאלה 2:
פתרו את התרגיל הבא:

$\sqrt{36}$
פתרון:
אפשר לפצל את המספר שבתוך השורש למכפלה של שני מספרים שיהיה לנו קל יותר להוציא מתוכם שורש

$\sqrt{36} = \sqrt{4 \cdot 9}$
מאחר ו

$\sqrt{4} = 2$
ו

$\sqrt{9} = 3$
נקבל כי

$\sqrt{36} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

שאלה 3:
פשטו את הצגת השורש הבא:

$\sqrt{50}$
פתרון:
כדי לפשט את הצגת שורש 50 נצטרך לפרק את 50 למכפלה של שני מספרים שמאחד מהם לפחות נוכל להוציא שורש

$50=25 \cdot 2$
כעת נציג את 50 בתוך השורש כסכום מכפלה

$\sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 25}$
מאחר ו

$\sqrt{2} = \sqrt{2}$
ו

$\sqrt{25} = 5$
נקבל כי

$\sqrt{50} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{25} = \sqrt{2} \cdot 5 = 5 ֿ\cdot \sqrt{2}$

שאלה 4:
פשטו את הצגת השורש הבא:

$\sqrt{16 \cdot x^2}=?$
פתרון:
נפרק את המכפלה שבתוך השורש ונוציא מהשורש
מאחר ו

$\sqrt{x^2} = x$
ו

$\sqrt{16} = 4$
נוכל לרשום את השורש גם גם כ

$\sqrt{16 \cdot x^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^2} = 4 \cdot x$

שאלה 5:
מצאו את x אם נתונה המשוואה הבאה:

$\sqrt{25 \cdot x^2}=35$
פתרון:
נפרק את המכפלה שבתוך השורש ונוציא מהשורש
מאחר ו

$\sqrt{x^2} = x$
ו

$\sqrt{25} = 5$
נוכל לרשום את השורש גם גם כ

$\sqrt{25 \cdot x^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^2} = 5 \cdot x$
ומאחר והערך של מה שמתחת לשורש הוא 35

$5 \cdot x =35$
נחלק את שני האגפים ב5 ונקבל

$x=7$

שאלה 6:
פשטו את הצגת השורש הבא:

$\sqrt{64 \cdot x^4}=?$
פתרון:
נפרק את המכפלה שבתוך השורש ונוציא מהשורש
ומאחר ו

$\sqrt{x^4} = x^2$
ו

$\sqrt{64} = 8$
נוכל לרשום את השורש גם גם כ

$\sqrt{64 \cdot x^4} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{x^4} = 8 \cdot x^2$

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ מתקיים רק כש $a>0 , b>0, n \in N$

שאלה 1:פתרו את תרגיל הבא

$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=?$
פתרון:

ניתן לפתור בכמה דרכים
דרך ראשונה פירוק של מספר תחת השורש לסכום של מכפלה
$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{\sqrt{2}}$
נמשיך
$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
נצמצם את השבר ב שורש 2 ונקבל
$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{16} = 4$

דרך שניה שימוש בהכנסת השבר לשורש
$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{32}{2}}$
נצמצם ונקבל
$\sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$
ולכן שוב
$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = 4$

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ מתקיים רק כש $a>0 , b>0, n \in N$

שאלה 1:
פתרו את התרגיל הבא או צמצמו ככל האפשר

$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}$
פתרון:
מאחר וכל השורשים הם שורש מסדר שלישי נוכל לחבר מכפלות של אותו השורש פנימה, כך:

$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5 \cdot 25}$
נמשיך לפתור

$\sqrt[3]{5 \cdot 25} = \sqrt[3]{125} = 5$
אפשר לראות ששורש שלישי של 125 הוא 5 כך

$\sqrt[3]{5 \cdot 25} = \sqrt[3]{5 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt[3]{5^3}$
ומכאן

$\sqrt[3]{5^3} = (5^3)^{\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 5^1 = 5$

שאלה 2:
פתרו את התרגיל הבא או צמצמו ככל האפשר

$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{64} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[4]{100} = ?$
פתרון:
מאחר ומדובר במכפלה של איברים, נוכל לשנות את סדר המכפלה

$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[4]{100} \cdot \sqrt[4]{64}$
אנחנו רואים שיש לנו שורשים משתי מעלות שונות, ממעלה רביעית ומעלה שלישית
נכנס את האיברים לתוך השורשים ממעלה זהה

$\sqrt[3]{5 \cdot 25} \cdot \sqrt[4]{100 \cdot 4}$
את התוצאה של

$\sqrt[3]{5 \cdot 25}$ אנחנו כבר יודעים מהשאלה הקודמת 5
נותר לנו לנסות ולעצב את

$\sqrt[4]{100} \cdot \sqrt[4]{64}$
בואו נראה

$64= 4 \cdot 4 \cdot 4$
ואילו

$100 = 25 \cdot 4$
נוכל לכתוב זאת בצורה שונה

$\sqrt[4]{100} \cdot \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{64 \cdot 100} = \sqrt[4]{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 25}$
לכן

$\sqrt[4]{100} \cdot \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{4^4 \cdot 25}=\sqrt[4]{4^4} \cdot \sqrt[4]{25}$
ולבסוף

$\sqrt[4]{100} \cdot \sqrt[4]{64} = 4 \cdot \sqrt[4]{25}$
ולתוצאה הסופית

$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{64} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[4]{100} = 5 \cdot 4 \cdot \sqrt[4]{25} = 20 \cdot \sqrt[4]{25}$

שורש של שורש – התוצאה היא מכפלה של מעריכי השורש $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$

מה אנחנו רואים כאן בעצם?
אנחנו יודעים שהמעריך של השורש הוא למעשה חזקה של 1 חלקי:
$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$
למשל אפשר להציג שורש 7 של 128 גם כך
$\sqrt[7]{128} = 128^{\frac{1}{7}}$
שורש בתוך שורש הוא בעצם חזקה של חזקה
$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = (a^{^{\frac{1}{n}}})^{\frac{1}{m}}$
נוכל לצמצם את הביטוי
$(a^{^{\frac{1}{n}}})^{\frac{1}{m}} = (a)^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}}$
ולכן
$(a)^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = (a)^{\frac{1}{n \cdot m}}$
ומכאן אנחנו מגיעים לביטוי השורש
$(a)^{\frac{1}{n \cdot m}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$
תרגילים לדוגמא

שאלה 1 :
פשטו את השורש הבא
$\sqrt[2]{\sqrt[2]{256}} = ?$
מכיוון שיש לנו כאן שורש בתוך שורש, אפשר להוציא שורש אחד שהחזקה שלו היא מכפלת המעריכים, במקרה שלנו 2 ו 2
$\sqrt[2]{\sqrt[2]{256}} = \sqrt[2 \cdot 2]{256} = \sqrt[4]{256}$

אגב בטבלה למטה נוכל לראות ששורש רביעי של 256 הוא 4

שורשים שכדאי לדעת

$\sqrt[4]{16}=2$	$\sqrt[3]{8}=2$	$\sqrt{81}=9$	$\sqrt{4}=2$	$\sqrt{1}=1$
$\sqrt[4]{81}=3$	$\sqrt[3]{27}=3$	$\sqrt{100}=10$	$\sqrt{9}=3$	$\sqrt{0}=0$
$\sqrt[4]{256}=4$	$\sqrt[3]{32}=2$	$\sqrt{121}=$	$\sqrt{16}=$	$\sqrt{2}=1.41$
$\sqrt[4]{625}=5$	$\sqrt[3]{125}=5$	$\sqrt{144}=12$	$\sqrt{25}=5$	$\sqrt{3}=1.73$
$\sqrt[4]{1,296}=6$	$\sqrt[3]{216}=6$	$\sqrt{169}=13$	$\sqrt{36}=6$	$\sqrt{5}=2.23$
$\sqrt[4]{2,401}=7$	$\sqrt[3]{343}=7$	$\sqrt{196}=14$	$\sqrt{49}=7$	$\sqrt{6}=2.449$
$\sqrt[4]{4,096}=$	$\sqrt[3]{512}=8$	$\sqrt{225}=15$	$\sqrt{64}=8$	$\sqrt{7}=2.645$

מהו השורש?

חוקי יסוד בנושאי שורשים:

תרגול שורשים

המספר a הוא שורש ריבועי של b אם מתקיים היחס :a^2=ba^2=b כלומר a=\sqrt{b}a=\sqrt{b}

אי אפשר להוציא שורש למספר שלילי – המספר שנמצא מתחת לשורש חיים להיות חיובי.

למספר חיובי יש שני שורשים תמיד למשל לשורש \sqrt{4} = \sqrt{4} = יש שני פתרונות s_{1}=-\sqrt{2} , s_{2}=\sqrt{2}s_{1}=-\sqrt{2} , s_{2}=\sqrt{2} מכיוון ש (-2)^2 = (2)^2 = 4 (-2)^2 = (2)^2 = 4

ניתן לפרק לשורשים מכפלות בתוך השורש \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} מתקיים רק כש a>0 , b>0, n \in N a>0 , b>0, n \in N

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} מתקיים רק כש a>0 , b>0, n \in N a>0 , b>0, n \in N

שורש של שורש – התוצאה היא מכפלה של מעריכי השורש \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}