איך מחשבים שטח משולש בעזרת נוסחאת טריגו?
בעבר עסקנו בנוסחא לחישוב שטח משולש ע״י היחס שבין הגובה לבסיס אליו הוא יוצא. בנוסחאת הטריגו, אנחנו נשתמש ביחס שבין שתי צלעות והזווית שבניהן לחישוב שטח המשולש. הנוסחא הבסיסית היא:
\(S=\frac{a \cdot b \cdot \sin{\alpha}}{2}\)
לנוסחא כמה שימושים בסיסיים:
- הנוסחא הרגילה – שטח המשולש מחושב על בסיס היחס שבין צלע-צלע-זווית
- מציאת אורך צלע חסרה על בסיס היחס שבין צלע-שטח-זווית
- מציאת הזווית החסרה על בסיס היחס שבין צלע-צלע-שטח
נעבור על המקרים הבסיסיים ונרחיב עליהם
0) הקדמה:
הוכחת הנוסחה לחישוב שטח משולש בעזרת סינוס
1) חישוב שטח משולש ושימוש במקרה הקלאסי צלע-צלע-זווית
המקרה הקלאסי הוא למעשה הצבה ישירה בנוסחאת שטח המשולש
הנוסחא לחישוב שטח המשולש S היא
\(S=\frac{a \cdot b \cdot \sin{\alpha}}{2}\)
כאשר
a ו b הן שתי צלעות סמוכות במשולש
α היא הזווית שבניהן
הצבה מתאימה בנוסחא תיתן את שטח המשולש
דוגמא 1:
חשבו את שטח המשולש הבא, בתרשים נתונים אורכי הצלעות a ו b גודל הזווית α שבניהן
פתרון:
נציב את הערכים הנתונים בנוסחא \(S=\frac{a \cdot b \cdot \sin{\alpha}}{2}\)
\(S=\frac{10 \cdot 10 \cdot \sin{45^{\circ}}}{2}\)
נמשיך ונצמצם
\(S=\frac{10 \cdot 10 \cdot 0.85}{2}=50 \cdot 0.85=35.35\)דוגמא 2:
חשבו את שטח המשולש הבא, בתרשים נתונים אורכי הצלעות AC ו BC גודל הזווית α שבניהן, כמו כן ידוע שהיקף המשולש הוא 14 ס״מ
פתרון:
במשולש הזה חסר לנו נתון אחד והוא אורך הצלע AB מאחר ואנחנו צריכים אותה כדי להשתמש בנוסחאת הטריגו (שתי צלעות והזווית שבניהן)
מאחר וידוע לנו ההיקף ואורכי שתי הצלעות האחרות: L=AB+AC+BC
ולכן AB+3+6=15 ומכן 5=AB
בשלב הזה יש לנו את כל הנתוגים לשימוש בנוסחאת הטריגו:
\(S=\frac{AC \cdot AB \cdot \sin{\alpha}}{2}\)
\(S=\frac{6 \cdot 5 \cdot \sin{30^{\circ}}}{2}\)
נמשיך ונצמצם
\(S=\frac{30 \cdot 0.5}{2}=7.5\)
תוכלו להשתמש במחשבון המהיר לחישוב שטח כל משולש כשידועים אורכי שתי צלעות וערך הזווית שבניהן
2) חישוב אורך צלע חסרה במשולש כשנתונים צלע-שטח-זווית
נשתמש בנוסחא הבסיסית ונבודד בצד אחד שלה את המשתנה החסר, אורך הצלע b:
\(S=\frac{a \cdot b \cdot \sin{\alpha}}{2}\)
נעביר אגפים ונבודד את b ונקבל
\(S=\frac{a \cdot b \cdot \sin{\alpha}}{2}\)
\(2 \cdot S=a \cdot b \cdot \sin{\alpha}\)
\(b=\frac{2 \cdot S }{a \cdot \sin{\alpha}}\)
יש לנו כעת למעשה גרסא נוספת של הנוסחא הבסיסית איתה אפשר לחשב אורך צלע חסרה כאשר נתונים שטח המשולש, אורך צלע וגודל הזווית שבין הצלע לצלע החסרה.
חשבו את גודלה של צלע AC, כאשר נתון כי שטח המשולש הוא 7.756 סמ״ר. איזה סוג משולש זה?
פתרון:
נציב את הנתונים בנוסחא \(b=\frac{2 \cdot S }{a \cdot \sin{\alpha}}\)
\(AC=\frac{2 \cdot S }{AB \cdot \sin{50^{\circ}}}\)
\(AC=\frac{2 \cdot 7.56 }{4.5 \cdot 0.766}=4.5\)
מאחר וצלע AB=AC זהו משולש שווה שוקיים.
בהמשך לשאלה הקודמת, חשבו את אורך הצלע BC.
פתרון:
בפתרון השאלה הקודמת הגענו למסקנה שהמשולש הוא משולש שווה שוקיים ולכן הזוויות
\(\angle ABC = \angle ACB\)
ולכן
\(\angle ABC = \angle ACB = ֿ\frac{180-50}{2}\)
\(\angle ABC = \angle ACB = ֿ\frac{130}{2}=65^{\circ}\)
נציב את הנתונים בנוסחא \(b=\frac{2 \cdot S }{a \cdot \sin{\alpha}}\)
\(BC=\frac{2 \cdot S }{AB \cdot \sin{65^{\circ}}}\)
\(AC=\frac{2 \cdot 7.56 }{4.5 \cdot 0.906}=3.569\)
תוכלו להשתמש במחשבון המהיר לחישוב על צלע חסרה בהינתן צלע, זוית ושטח
3) חישוב גודל זווית צלע-צלע-שטח
כאן נתחיל בצורה הבסיסית, נבודד בצד אחד של המשוואה את סינוס הזווית החסרה ונבצע חישוב ארקסינוס
נתחיל מהנוסחא הבסיסית
\(S=\frac{a \cdot b \cdot \sin{\alpha}}{2}\)
נעביר אגפים
\(2 ֿ\cdot S=a \cdot b \cdot \sin{\alpha}\)
ונבודד את הזוית אלפה
\(\sin{\alpha} = \frac {2 ֿ\cdot S}{a \cdot b } \)
והזוית היא
\( {\alpha} = \arcsin\frac {2 ֿ\cdot S}{a \cdot b } \)
דוגמא 5:
נתון התרשים הבא חשבו את גודל
\(\angle BAC = \beta\)
פתרון:
נציב את הנתונים בנוסחא
\( {\beta} = \arcsin\frac {2 ֿ\cdot S}{AC \cdot AB } \)
הצבה
\( {\beta} = \arcsin\frac {2 ֿ\cdot 13.27}{7.2 \cdot 4.5 }=55^\circ \)
תוכלו להשתמש במחשבון המהיר לחישוב שטחו של כל מעגל בתלות באורך הקיפו שלו
יש לכם שאלות נוספות, תגובות או הצעות? כתבו בתגובות למטה!