סדרה חשבונית

שאלה #1

שאלה #2
נעמה מתחילה עבודה חדשה בחנות הירקות של תומר. בחודש הראשון נעמה משתכרת שכר של 24 שקלים לשעה. בכל חודש שכרה של נעמה עולה ב3 שקלים לשעה. מה יהיה השכר השעתי של נעמה כעבור 11 חודשים?

פתרון:

השכר ההתחלתי של נעמה 24 שקלים הוא גם האיבר הראשון בסדרה המתאר את התפתחות השכר של נעמה, לכן a₁=24, מאחר ובכל חודש השכר השעתי עולה ב3 שקלים, זהו גם יהיה הפרש הסדרה d=3. כעת נותר לחשב בעזרת שימוש בנוסחא לאיזה ה-n.

a₁=24, d=3, n=11

a₁₁=a₁+d(n-1)=24+3(11-1)=24+3×10=24+30=54

תשובה: השכר של נעמה כעבור 11 חודשים יהיה 54 שקלים לשעה

שאלה #3
רכבת ישראל רכשה קטר מופלא. הקטר מתחיל את הנסיעה שלו במהירות 0 קמ״ש ומתחיל להאיץ בקצב קבוע, בכל שניה מהירות הקטר עולה ב3.5 קילומטרים לשעה. כעבר כמה שניות מהירות הקטר תעלה על 110 קמ״ש ?

פתרון:

מתוך השאלה נוציא ראשית את הנתונים. המהירות בכל שניה היא למעשה האיברים בסדרה החשבונית. a₁=0 המהירות עולה ב3.5 קמש בכל שניה ולכן d=3.5, הנעלם הפעם הוא n, אנחנו נרצה למצוא n ראשון שעבורו מהירות הרכבת גדולה מ110 קמש

a₁=0, an>110, d=3.5

a_n<a₁+d(n-1)

110<0+3.5x(n-1)

110<3.5n-3.5

113.5<3.5n

נחלק את שני האגפים ב3.5 ונקבל

113.5:3.5<n

n>32.42

ה-n הראשון שגדול מ32.42 הוא 32 ולכן n=33

בדיקה:

a₁=0, d=3.5, n=33

a₃₃=a₁+d(n-1)=0+3.5(33-1)=3.5×32=112

a₃₂=a₁+d(n-1)=0+3.5(32-1)=3.5×31=108.5

שאלה #4

חבורת ילדים מסודרת לפי הגובה שלהם מהנמוך לגבוה. כל ילד בשורה גבוה ב3 סנטימיטרים בדיוק מהילד הקודם בשורה. גובהו של הילד הנמוך בשורה הוא 112 ס״מ וגובהו של הילד הגבוה בשורה הוא 142 ס״מ. כמה ילדים עומדים בשורה?

פתרון:

גובה הילד הנמוך הוא 112 ס״מ לכן נסמן a₁=112 גובהו של הילד הגבוה בשורה הוא 142 ס״מ ולכן a_n=142, את ההפרש נסמן כ d=3.

נציב בנוסחת האיבר ה-n

a_n=a₁+d(n-1)

נציב את הערכים הידועים לנו

142=112+3(n-1)

נפתח סוגריים

142=112+3n-3 / -112 +3

142+3-112 = 3n

3n=33

n=11

בשורה עומדים 11 תלמידים

שאלה #1

נתונה סדרה חשבונית שבה האיבר הראשון הוא 4, הפרש הסדרה הוא 9. חשבו את סכום 9 האיברים הראשונים.

פתרון:

מתוך השאלה אנחנו רואים מיד שa1=4 ו d=9, אנחנו מתבקשים לחשב את סכום 9 האיברים הראשונים ולכן מחפשים את ?=Sn

נשתמש בנוסחה השניה
\(S_{n} = \frac{n\cdot \left [ 2a_{1}+\left ( n-1 \right )\cdot d \right ]}{2}\)
נציב את הערכים שלנו בנוסחה ונפתור
\(S_{9} = \frac{9\cdot \left [2\cdot 4+\left ( 8 \right )\cdot 9 \right ]}{2}\)
נמשיך לפתור
\(S_{9} = \frac{9\cdot [8+72]}{2}\)
מכאן
\(S_{9} = \frac{9\cdot 80}{2}=360\)
סכום 9 האיברים הראשונים בסדרה הוא \(S_{9} =360\)

שאלה #2
נתונה סדרה בה האיבר הראשון הוא 8, האיבר ה5 הוא 40, הפרש השסדרה הוא 8.
חשבו את סכום 5 האיברים הראשונים בסדרהפתרון:
ראשית נכתוב בסימנים את נתוני השאלה
a₁=8, a₅=40, d=8
דרך ראשונה: לאחר שסיכמנו את הנתונים של השאלה, רואים שיהיה להשתמש בנוסחה הראשונה
\(S_{n} = \frac{n\cdot \left ( a_{1}+ a_{n}\right )}{2}\)
בנוסחה הראשונה אין צורך בידיעת הפרש הסדרה
נציב את הנתונים בנוסחה
\(S_{5} = \frac{5\cdot \left ( 8+ 40\right )}{2}\)
נפשט ונפתור
\(S_{5} = \frac{5\cdot 48}{2} = \frac{240}{2}=120\)
מכאן סכום 5 האיברים הראשונים בסדרה הם
\(S_{5} =120\)

שאלה #3

במגרש הכדורשת השכונתי יש יציע צופים ובו 15 שורות, בשורה הראשונה יושבים 10 צופים, בכל שורה יושבים 4 צופים יותר מהאשר בשורה שמתחתיהם. כמה צופים הגיעו לצפות במשחק?

פתרון

ידוע לנו כי n=15 הוא מספר השורות. a1=10 בשורה הראשונה יושבים 10 צופים והשורה הראשונה היא האיבר הראשון בסדרה שנחשב, d=4 בכל שורה ישנם 4 צופים יתר ולכן זהו הפרש הסדרה.

נשתמש בנוסחה השניה לחשוב מספר הצופים הכולל:

\(S_{n} = \frac{n\cdot \left [ 2a_{1}+\left ( n-1 \right )\cdot d \right ]}{2}\)

נתחיל להציב את הערכים הנתונים בנוסחה:
\(S_{n} = \frac{15ֿ \cdot\left [ 2ֿ\cdot 10 ֿ+\left ( 15-1 \right )\cdot 4 \right ]}{2}\)

נתחיל לפתור

\(S_{n} = \frac{15ֿ \cdot\left [ 20 ֿ+\left ( 14 \right )\cdot 4 \right ]}{2}\)

נמשיך
\(S_{n} = \frac{15ֿ \cdot\left ( 20 ֿ+56 \right )}{2} = \frac{15ֿ \cdot76}{2}\)
\(S_{n} = \frac{15ֿ \cdot76}{2} = \frac{1140}{2}=570\)

תשובה : במשחק צופים 570 איש ואישה

שאלה #1

ראשית נרשום את נתוני השאלה

a₇=29 d=-3

פתרון סעיף א:

נשתמש בנוסחה למציאת האיבר an תוך כדי הצבת הנתונים שכתבנו למעלה, אנחנו יודעים שעבור n=7 a₇=29 לכן:
\(a_{n} = a_{1}+d \cdot (n-1)\)
נציב את הנתונים
\(a_{7} = a_{1}+(-3) \cdot (7-1)\)
נבודד את a₁
\(a_{1} = a_{7}+3 \cdot (7-1)\)
נחשב
\(a_{1} = 29+3 \cdot 6=29+18=47\)
a₁=47

פתרון סעיף ב:

לחישוב S13 נשתמש בנוסחה הבאה לחישוב סכום n האיברים הראשונים בסדרה :
\(S_{n} = \frac{n\cdot \left [ 2a_{1}+\left ( n-1 \right )\cdot d \right ]}{2}\)
נציב את הנתונים לחישוב סכום 13 האיברים הראשונים
\(S_{13} = \frac{13\cdot \left [ 2\cdot47+\left ( 13-1 \right )\cdot (-3) \right ]}{2}\)
נתחיל לפתור ולצמצם:
\(S_{13} = \frac{13\cdot \left [ 94+\left ( 12 \right )\cdot (-3) \right ]}{2} = \frac{13\cdot (94-36)}{2}\)
נמשיך לצמצם
\(S_{13} =\frac{13\cdot (94-36)}{2} =\frac{13\cdot 58}{2}\)
\(S_{13} =\frac{13\cdot 58}{2} =13\cdot 29 = 377\)
לסיכום S₁₃=377

פתרון סעיף ג:

כדי למצוא את ההפרש בין האיבר התשיעי לאיבר השני, נשתמש בנוסחה לחישוב האיבר הn ומשם נמצא את ההפרש בין האיברים
\(a_{n} = a_{1}+d \cdot (n-1)\)
נמצא את האיברים
\(a_{2} = 47+(-3) \cdot (2-1)\)
\(a_{2} =47-3\cdot1 = 44 \)
ו
\(a_{9} = 47+(-3) \cdot (9-1) \)
\(a_{9} = 47-3\cdot8 = 23 \)

נסכם
\(a_{9} – a_{2}= 23 -44 = -21\)
האיבר התשיעי קטן ב21 מהאיבר השני

פתרון וידאו