כפל שברים אלגבריים

תרגיל 1:

בעיה: $\frac{x}{3} \cdot \frac{2}{x}$

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה: לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה $x$ אינו יכול לקבל:
– מכיוון ש-$x$ מופיע במכנה, $x$ לא יכול להיות שווה ל-0 כדי למנוע חלוקה באפס.
– נציין כי $x ≠ 0$.

2. כפל השברים: בכפל שברים, מכפילים את המונים זה בזה ואת המכנים זה בזה:

$$\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \left(\frac{2}{x}\right) = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot x}$$

3. פישוט הביטוי: נפשט את הביטוי על ידי צמצום המשתנה $x$:

$$\frac{x \cdot 2}{3 \cdot x} = \frac{2}{3}$$

4. התוצאה הסופית:
– התוצאה של כפל השברים היא $\frac{2}{3}$, תחת ההנחה ש-$x ≠ 0$.

 

תרגיל 2:

בעיה: $\frac{2x}{5} \cdot \frac{3}{4x}$

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– מכיוון ש-$x$ מופיע במכנה, נבדוק את תחום ההגדרה: $x ≠ 0$.

2.כפל השברים:

$$\left(\frac{2x}{5}\right) \cdot \left(\frac{3}{4x}\right) = \frac{2x \cdot 3}{5 \cdot 4x}$$

3. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום המשתנה $x$: $\frac{2x \cdot 3}{5 \cdot 4x} = \frac{6}{20}$.
– נפשט יותר על ידי צמצום ב-2: $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

4. התוצאה הסופית:
– התוצאה של כפל השברים היא $\frac{3}{10}$, תחת ההנחה ש-$x ≠ 0$.

תרגיל 3:

– בעיה: $\frac{x^2 – 1}{x + 1} \cdot \frac{x – 1}{x^2 + 2x + 1}$

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה $x$ אינו יכול לקבל:
– מכיוון ש-$x + 1$ ו-$x^2 + 2x + 1$ מופיעים במכנה, נבדוק את תחום ההגדרה: $x ≠ -1$.

2. פירוק לגורמים וכפל השברים:
– נפרק לגורמים את המונים והמכנים: $\frac{x^2 – 1}{x + 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}$ ו-$\frac{x – 1}{x^2 + 2x + 1} = \frac{x – 1}{(x+1)^2}$.
– נכפיל את השברים: $\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} \cdot \frac{x – 1}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$.

3. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום הביטויים הזהים במונה ובמכנה: $\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} = \frac{x – 1}{x + 1}$.

4. התוצאה הסופית:
– התוצאה של כפל השברים היא $\frac{x – 1}{x + 1}$, תחת ההנחה ש-$x ≠ -1$.

 

תרגיל 4:

– בעיה: $\frac{2x + 3}{x^2 – 9} \cdot \frac{x – 3}{x + 3}$

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה $x$ אינו יכול לקבל:
– המכנה הראשון $x^2 – 9$ ניתן לפירוק: $(x-3)(x+3)$, לכן $x ≠ -3, 3$.
– המכנה השני $x + 3$, לכן $x ≠ -3$.

2. פירוק לגורמים וכפל השברים:
– נפרק לגורמים את המכנה הראשון: $x^2 – 9 = (x-3)(x+3)$.
– נכפיל את השברים: $\frac{2x + 3}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x – 3}{x + 3}$.

3. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום הביטויים הזהים במונה ובמכנה: $\frac{(2x + 3)(x-3)}{(x-3)(x+3)(x+3)} = \frac{2x + 3}{x + 3}$.

4. התוצאה הסופית:
– התוצאה של כפל השברים היא $\frac{2x + 3}{x + 3}$, תחת ההנחה ש-$x ≠ -3, 3$.

 

תרגיל 5:

– בעיה: $\frac{x^2 – 4x + 4}{x^2 + 5x + 6} \cdot \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 – 2x – 3}$

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה $x$ אינו יכול לקבל:
– המכנה הראשון $x^2 + 5x + 6$ ניתן לפירוק: $(x+2)(x+3)$, לכן $x ≠ -2, -3$.
– המכנה השני $x^2 – 2x – 3$ ניתן לפירוק: $(x-3)(x+1)$, לכן $x ≠ 3, -1$.

2. פירוק לגורמים וכפל השברים:
– נפרק לגורמים את המונים והמכנים:
– $x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2$.
– $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$.
– $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.
– $x^2 – 2x – 3 = (x-3)(x+1)$.
– נכפיל את השברים: $\frac{(x-2)^2}{(x+2)(x+3)} \cdot \frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+1)}$.

3. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום הביטויים הזהים במונה ובמכנה: $\frac{(x-2)^2(x+3)}{(x+2)(x+3)(x-3)(x+1)}$.

4. התוצאה הסופית:
– התוצאה של כפל השברים היא $\frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-3)(x-1)}$, תחת ההנחה ש-$x ≠ -2, -3, 3, -1$.