חילוק שברים אלגבריים

 

 תרגיל 1:

– בעיה: $\frac{x}{3} \div \frac{2}{x}$

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– נבדוק בשלב הראשון את תחום ההגדרה, מכיוון ש-$x$ מופיע במכנה של השבר מחלק, ובמונה של השבר המחולק, $x$ לא יכול להיות שווה ל-0 כדי למנוע חלוקה באפס.
– נציין כי $x ≠ 0$.

2. הופכים את השבר השני ומכפילים:
– כדי לחלק שברים אלגבריים, אנו הופכים את השבר השני ומכפילים.

$$\left(\frac{x}{3}\right) \div \left(\frac{2}{x}\right) = \left(\frac{x}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)$$

3. כפל השברים:
– נכפיל את השברים: $\frac{x \cdot x}{3 \cdot 2}$.

4. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי: $\frac{x^2}{6}$.

5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חילוק השברים היא $\frac{x^2}{6}$, תחת ההנחה ש-$x ≠ 0$.

תרגיל 2:

שאלה: $\frac{2x}{5} \div \frac{4x}{3}$

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– נבדוק בשלב הראשון את תחום ההגדרה, מכיוון ש-$x$ מופיע במונה של השבר המחלק, $x$ לא יכול להיות שווה ל-0 כדי למנוע חלוקה באפס.
– נציין כי $x ≠ 0$.

2. הופכים את השבר השני ומכפילים:
– כדי לחלק שברים אלגבריים, אנו הופכים את השבר השני ומכפילים.

$$\left(\frac{2x}{5}\right) \div \left(\frac{4x}{3}\right) = \left(\frac{2x}{5}\right) \cdot \left(\frac{3}{4x}\right)$$

3. כפל השברים:
– נכפיל את השברים: $\frac{2x \cdot 3}{5 \cdot 4x}$.

4. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום המשתנה $x$: $\frac{6}{20}$.
– נפשט יותר על ידי צמצום ב-2: $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חילוק השברים היא $\frac{3}{10}$, תחת ההנחה ש-$x ≠ 0$.

תרגיל 3:

– שאלה: $\frac{x^2 – 1}{x + 1} \div \frac{x – 1}{x^2 + 2x + 1}$

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה $x$ אינו יכול לקבל:
– בשבר הראשון ($\frac{x^2 – 1}{x + 1}$), מכיוון ש-$x + 1$ מופיע במכנה, נבדוק: $x ≠ -1$.
– בשבר השני ($\frac{x – 1}{x^2 + 2x + 1}$), מכיוון ש-$(x+1)^2$ מופיע במכנה, נבדוק: $x ≠ -1$. כמו כן, על המונה $x – 1$ לא להיות שווה ל-0 כדי למנוע מצב של חלוקה באפס לאחר ההיפוך, ולכן: $x ≠ 1$.

2. הופכים את השבר השני ומכפילים:
– כדי לחלק שברים אלגבריים, אנו הופכים את השבר השני ומכפילים.

$$\left(\frac{x^2 – 1}{x + 1}\right) \div \left(\frac{x – 1}{x^2 + 2x + 1}\right) = \left(\frac{x^2 – 1}{x + 1}\right) \cdot \left(\frac{x^2 + 2x + 1}{x – 1}\right)$$

3. פירוק לגורמים וכפל השברים:
– נפרק לגורמים את המונים והמכנים:
– $x^2 – 1 = (x-1)(x+1)$.
– $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
– נכפיל את השברים: $\frac{(x-1)(x+1)}{x + 1} \cdot \frac{(x+1)^2}{x – 1}$.

4. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום הביטויים הזהים במונה ובמכנה: $\frac{(x+1)}{1}$.

5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חילוק השברים היא $1$, תחת ההנחה ש-$x ≠ -1$ וכן $x ≠ 1$.

 

תרגיל 4:

שאלה: $\frac{2x + 3}{x^2 – 9} \div \frac{x + 3}{x – 3}$

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה $x$ אינו יכול לקבל:
– מכיוון ש-$(x-3)$ ו-$(x+3)$ מופיעים במכנה, נבדוק: $x ≠ 3$ ו-$x ≠ -3$.

2. הופכים את השבר השני ומכפילים:
– כדי לחלק שברים אלגבריים, אנו הופכים את השבר השני ומכפילים.

$$\left(\frac{2x + 3}{x^2 – 9}\right) \div \left(\frac{x + 3}{x – 3}\right) = \left(\frac{2x + 3}{x^2 – 9}\right) \cdot \left(\frac{x – 3}{x + 3}\right)$$

3. פירוק לגורמים וכפל השברים:
– נפרק לגורמים את המכנה הראשון: $x^2 – 9 = (x-3)(x+3)$.
– נכפיל את השברים: $\frac{2x + 3}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x – 3}{x + 3}$.

4. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום הביטויים הזהים במונה ובמכנה: $\frac{2x + 3}{x + 3}$.

5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חילוק השברים היא $\frac{2x + 3}{x + 3}$, תחת ההנחה ש-$x ≠ 3$ ו-$x ≠ -3$.

תרגיל 5:

שאלה: $\frac{x^2 – 4x + 4}{x^2 + 5x + 6} \div \frac{x^2 – 2x – 3}{x^2 + 6x + 9}$

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה $x$ אינו יכול לקבל:
– עבור המכנה הראשון $x^2 + 5x + 6$ נפרק לגורמים: $(x+2)(x+3)$, לכן $x ≠ -2, -3$.
– עבור המכנה השני $x^2 + 6x + 9$ נפרק לגורמים: $(x+3)^2$, לכן \(x ≠ -3

\).

2. הופכים את השבר השני ומכפילים:
– כדי לחלק שברים אלגבריים, אנו הופכים את השבר השני ומכפילים.

$$\left(\frac{x^2 – 4x + 4}{x^2 + 5x + 6}\right) \div \left(\frac{x^2 – 2x – 3}{x^2 + 6x + 9}\right) = \left(\frac{x^2 – 4x + 4}{x^2 + 5x + 6}\right) \cdot \left(\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 – 2x – 3}\right)$$

3. פירוק לגורמים וכפל השברים:
– נפרק לגורמים את המכנים והמונים:
– $x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2$.
– $x^2 – 2x – 3 = (x-3)(x+1)$.
– נכפיל את השברים: $\frac{(x – 2)^2}{(x+2)(x+3)} \cdot \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+1)}$.

4. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום הביטויים הזהים במונה ובמכנה: $\frac{(x – 2)^2}{(x+2)}$.

5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חילוק השברים היא $\frac{(x – 2)^2}{(x + 2)}$, תחת ההנחה ש-$x ≠ -2, -3, 3, 1$.