חילוק שברים אלגבריים

 

 תרגיל 1:

– בעיה: \(\frac{x}{3} \div \frac{2}{x}\)

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– נבדוק בשלב הראשון את תחום ההגדרה, מכיוון ש-\(x\) מופיע במכנה של השבר מחלק, ובמונה של השבר המחולק, \(x\) לא יכול להיות שווה ל-0 כדי למנוע חלוקה באפס.
– נציין כי \(x ≠ 0\).

2. הופכים את השבר השני ומכפילים:
– כדי לחלק שברים אלגבריים, אנו הופכים את השבר השני ומכפילים.
\[
\left(\frac{x}{3}\right) \div \left(\frac{2}{x}\right) = \left(\frac{x}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)
\]

3. כפל השברים:
– נכפיל את השברים: \(\frac{x \cdot x}{3 \cdot 2}\).

4. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי: \(\frac{x^2}{6}\).

5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חילוק השברים היא \(\frac{x^2}{6}\), תחת ההנחה ש-\(x ≠ 0\).

תרגיל 2:

שאלה: \(\frac{2x}{5} \div \frac{4x}{3}\)

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– נבדוק בשלב הראשון את תחום ההגדרה, מכיוון ש-\(x\) מופיע במונה של השבר המחלק, \(x\) לא יכול להיות שווה ל-0 כדי למנוע חלוקה באפס.
– נציין כי \(x ≠ 0\).

2. הופכים את השבר השני ומכפילים:
– כדי לחלק שברים אלגבריים, אנו הופכים את השבר השני ומכפילים.
\[
\left(\frac{2x}{5}\right) \div \left(\frac{4x}{3}\right) = \left(\frac{2x}{5}\right) \cdot \left(\frac{3}{4x}\right)
\]

3. כפל השברים:
– נכפיל את השברים: \(\frac{2x \cdot 3}{5 \cdot 4x}\).

4. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום המשתנה \(x\): \(\frac{6}{20}\).
– נפשט יותר על ידי צמצום ב-2: \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\).

5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חילוק השברים היא \(\frac{3}{10}\), תחת ההנחה ש-\(x ≠ 0\).

תרגיל 3:

– שאלה: \(\frac{x^2 – 1}{x + 1} \div \frac{x – 1}{x^2 + 2x + 1}\)

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה \(x\) אינו יכול לקבל:
– בשבר הראשון (\(\frac{x^2 – 1}{x + 1}\)), מכיוון ש-\(x + 1\) מופיע במכנה, נבדוק: \(x ≠ -1\).
– בשבר השני (\(\frac{x – 1}{x^2 + 2x + 1}\)), מכיוון ש-\((x+1)^2\) מופיע במכנה, נבדוק: \(x ≠ -1\). כמו כן, על המונה \(x – 1\) לא להיות שווה ל-0 כדי למנוע מצב של חלוקה באפס לאחר ההיפוך, ולכן: \(x ≠ 1\).

2. הופכים את השבר השני ומכפילים:
– כדי לחלק שברים אלגבריים, אנו הופכים את השבר השני ומכפילים.
\[
\left(\frac{x^2 – 1}{x + 1}\right) \div \left(\frac{x – 1}{x^2 + 2x + 1}\right) = \left(\frac{x^2 – 1}{x + 1}\right) \cdot \left(\frac{x^2 + 2x + 1}{x – 1}\right)
\]

3. פירוק לגורמים וכפל השברים:
– נפרק לגורמים את המונים והמכנים:
– \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\).
– \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\).
– נכפיל את השברים: \(\frac{(x-1)(x+1)}{x + 1} \cdot \frac{(x+1)^2}{x – 1}\).

4. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום הביטויים הזהים במונה ובמכנה: \(\frac{(x+1)}{1}\).

5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חילוק השברים היא \(1\), תחת ההנחה ש-\(x ≠ -1\) וכן \(x ≠ 1\).

 

תרגיל 4:

שאלה: \(\frac{2x + 3}{x^2 – 9} \div \frac{x + 3}{x – 3}\)

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה \(x\) אינו יכול לקבל:
– מכיוון ש-\((x-3)\) ו-\((x+3)\) מופיעים במכנה, נבדוק: \(x ≠ 3\) ו-\(x ≠ -3\).

2. הופכים את השבר השני ומכפילים:
– כדי לחלק שברים אלגבריים, אנו הופכים את השבר השני ומכפילים.
\[
\left(\frac{2x + 3}{x^2 – 9}\right) \div \left(\frac{x + 3}{x – 3}\right) = \left(\frac{2x + 3}{x^2 – 9}\right) \cdot \left(\frac{x – 3}{x + 3}\right)
\]

3. פירוק לגורמים וכפל השברים:
– נפרק לגורמים את המכנה הראשון: \(x^2 – 9 = (x-3)(x+3)\).
– נכפיל את השברים: \(\frac{2x + 3}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x – 3}{x + 3}\).

4. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום הביטויים הזהים במונה ובמכנה: \(\frac{2x + 3}{x + 3}\).

5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חילוק השברים היא \(\frac{2x + 3}{x + 3}\), תחת ההנחה ש-\(x ≠ 3\) ו-\(x ≠ -3\).

תרגיל 5:

שאלה: \(\frac{x^2 – 4x + 4}{x^2 + 5x + 6} \div \frac{x^2 – 2x – 3}{x^2 + 6x + 9}\)

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה \(x\) אינו יכול לקבל:
– עבור המכנה הראשון \(x^2 + 5x + 6\) נפרק לגורמים: \((x+2)(x+3)\), לכן \(x ≠ -2, -3\).
– עבור המכנה השני \(x^2 + 6x + 9\) נפרק לגורמים: \((x+3)^2\), לכן \(x ≠ -3

\).

2. הופכים את השבר השני ומכפילים:
– כדי לחלק שברים אלגבריים, אנו הופכים את השבר השני ומכפילים.
\[
\left(\frac{x^2 – 4x + 4}{x^2 + 5x + 6}\right) \div \left(\frac{x^2 – 2x – 3}{x^2 + 6x + 9}\right) = \left(\frac{x^2 – 4x + 4}{x^2 + 5x + 6}\right) \cdot \left(\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 – 2x – 3}\right)
\]

3. פירוק לגורמים וכפל השברים:
– נפרק לגורמים את המכנים והמונים:
– \(x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2\).
– \(x^2 – 2x – 3 = (x-3)(x+1)\).
– נכפיל את השברים: \(\frac{(x – 2)^2}{(x+2)(x+3)} \cdot \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+1)}\).

4. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום הביטויים הזהים במונה ובמכנה: \(\frac{(x – 2)^2}{(x+2)}\).

5. התוצאה הסופית:
– התוצאה של חילוק השברים היא \(\frac{(x – 2)^2}{(x + 2)}\), תחת ההנחה ש-\(x ≠ -2, -3, 3, 1\).