בשיעור הזה נתרכז ב3 נוסחאות הכפל המקוצר הבאות:
\left ( a+b \right )^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}
\left (a+b \right )\left ( a-b\right ) = a^{2} – b^{2}
\left ( a-b \right )^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2}
הוכחת הנוסחה \left ( a+b \right )^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}
ראשית נפתח את הסוגריים כמכפלה הבאה:
\left ( a+b \right )\left ( a+b \right ) =
כעת לפי חוק הפילוג, נפתח את הסוגריים לסכום מכפלות
a\left ( a+b \right ) + b\left ( a+b \right ) =
לאחר פתיחת המכפלות נקבל את האיברים הבאים
a^{2} + ab +ab + b^{2} =
לאחר חיבור איברים זהים נקבל את נוסחאת הכפל המקוצר
a^{2} + 2ab + b^{2}
\left ( 5x+3 \right )^{2}=?
פתרון לפי נוסחת הכפל המקוצר, נציב את ערכי a ו b הבאים בנוסחה
a=\left ( 5x \right )
b=3
ונקבל את המשוואה הבאה:
\left ( 5x \right )^{2} + 2\cdot 5\cdot x\cdot3 + 3^{2}
נתפור ונצמצם:
25x^{2} + 30x + 9
והתוצאה:
\left ( 5x+3 \right )^{2}=25x^{2} + 30x + 9
\left ( 2x+3 \right )^{2} = 4x^{2} – 3
ראשית נפתח את הצד הימני לפי נוסחת הכפל המקוצר ונקבל:
4x^{2}+12x+9= 4x^{2}- 3
נחסיר 4x בריבוע משני האגפים ונקבל:
12x+9=-3
12x = -12
x=1
הוכחת הנוסחה \left ( a-b \right )^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2}
נפתח את המכפלות ונצמצם
a\left ( a-b \right ) – b\left ( a-b \right )
a^{2} – ab – ab +b^{2}
\left ( 3x-5 \right )^{2}
בתרגיל,ערכי a ו b הם:
a=3x
b=5
נציב אותם בנוסחה ונקבל:
\left ( 3x \right )^{2} – \left ( 5 \right )^{2}
כעת נותר רק לחשב ונקבל:
9x^{2} + 25
\left ( 2x-6 \right )^{2} = 12 + 4x^{2}
4x^{2} -24x + 36 = 12+ 4x^{2}
-24x = 12-36 = -24
x = \frac{-24}{-24}
x=1
הוכחת הנוסחה \left (a+b \right )\left ( a-b\right ) = a^{2} – b^{2}
נפתח את המכפלה בעזרת חוק הפילוג
a\left ( a-b \right ) + b\left ( a-b \right )
a^{2} – ab + ab -b^{2}
a^{2} – b^{2}
\left ( 3x+1 \right )\cdot \left ( 3x-1 \right )=?
a=3x
b=1
נציב את ערכי a ו b בנוסחה
9x^{2} – 1
מהו ערכו של x במשוואה הבאה
\left ( 2x+2 \right )\cdot \left ( 2x-2 \right )=60
את האגף השמאלי נפתח לפי הנוסחה לכפל מקוצר ונקבל
4x^{2} – 4 = 60
כעת נבודד את הx ונוסיף 4 לשני האגפים
4x^{2}= 64
נחלק ב4 את שני האגפים ונקבל
x^{2}=16
נוציא שורש של 16 ונקבל את פתרון
x=\sqrt{16}=\pm 4
