משהו משפט פיתגורס?
משפט פיתגורס הוא אחד המשפטים המוכרים בגאומטריה. המשפט אומר שבמשולש ישר זווית סכום ריבועי הצלעות האנכיות שווה לריבוע היתר.
\(a^{2}+b^{2} = c^{2}\)הוכחת משפט פיתגורס:
ישנן מאות הוכחות שונות למשפט פיתגורס, יש אפילו ספר שמאגד 368 הוכחות שונות, הנה אחד מהפתרונות מהמוכרים:
אם ניקח 4 משולשים ישר זווית בעלי שני אנכים a ו b ויתר c.
למעשה קיבלנו שני ריבועים:
ריבוע פנימי שאורך צלעו c
ריבוע חיצוני שאורך צלעו a+b
מכאן אפשר לחשב את השטח של ריבוע הגדול בשתי דרכים ולהגיע לשיוויון פיתגורס, כך:
צד שמאל של המשוואה הוא שטח הריבוע הגדול בעל צלע באורך a+bהמצד שני הוא שטח הריבוע הפנימי בעל צלע באורך c ובנוסף שטח 4 משולשים בעלי אנכים a ו b:
\(\left ( a+b \right )^{2} = c^{2}+4\cdot \frac{a\cdot b}{2}\)
נפשט את שני הצדדים:
\(a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2} = c^{2} + 2\cdot a\cdot b \)
כעת נחסיר משני האגפים 2ab ונקבל את משפט פיתגורס, מש״ל:
\(a^{2}+b^{2} = c^{2}\)
שימושים למשפט פיתגורס:
אחד השימושים הנפוצים למשפט פיתגרוס הוא מציאת אלכסונים במרובעים ומציאת אורך היתר במשלושים ישרי זווית:
שימוש במשפט פיתגורס לחישוב אורך היתר במשולש ישר זווית:נתון המשולש הבא:
נתון כי אורכי הצלעות הם:
BC = 6
AB = 8
- חשבו את אורך היתר (AC) במשולש
- חשבו את שטח המשולש
פתרון:
לחישוב אורך היתר נשתמש במשפט פיתגורס:
\(Ac^{2} = BC^{2} + AB^{2}\)
נציב את אורכי הצלעות ונקבל
\(AC^{2} = 6^{2}+8^{2}=36+64=100\)
נוציא שורש ונקבל
\(AC = \sqrt{100} =10\)
תרגיל 2:
שימוש במשפט פיתגורס לחישוב אורך ניצב טשטח משולש ישר זווית:נתון המשולש הבא, אורכי הצלעות נתונים בשרטוט
מצאו את אורך הגובה AB וחשבו את שטח משולש ABC
פתרון:
ראשית נחשב לפי משפט פיתגורס את אורך הגובה BC ע״י שימוש במשפט פיתגורס:
\(AC^{2} = BC^{2} + AB^{2}\)
נבודד את היתר החסר במשוואת פיתגורס:
\(BC^{2} = AC^{2} – AB^{2} = 13^{2} – 12^{2} = 169-144
=25\)
נוציא שורש ונקבל את אורך היתר החסר
\(BC = \sqrt{25} = 5\)
כעת נחשב את שטח המשולש לפי:
\(S = \frac{1}{2}\cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2}\cdot12\cdot 5=60\)
רינה
31 דצמ 2021יש כמה מאות הוכחות שונות למשפט פיתגורס
adminnn3
31 דצמ 2021נכון, נעדכן את הפתיח למאות במקום מעל 10.
אגב, כמה הוכחות מלמדים בכיתתך?